已知直角三角形ABE,AB⊥BE,AB=2BE=4,C,D分別是AB,AE上的中點,且CD∥BE,將△ACD沿CD折起到位置A1CD,使平面A1CD與平面BCD所成的二面角A1-CD-B的大小為θ,.
(1)若θ=
π
3
,求直線A1E與平面BCD所成的角的正切值;
(2)已知G為A1E的中點,若BG⊥A1D,求cosθ的取值.
考點:直線與平面所成的角
專題:空間位置關系與距離,空間角
分析:(1)首先利用折疊前的相關量利用勾股定理,求出對應的線段長,利用θ=
π
3
,最為突破口,求出相對應的結果.
(2)采用轉化法取DE中點H,連接GH,BH,因為G是A1E中點,所以GH∥A1D進一步求出,BG⊥GH和
A1C=CB=2,BE=2,A1D=DE=
5
,所以GH=
5
2
,EH=
5
2
最后利用三角形的關系解得:cos∠BEH=
5
5
,利用余弦定理得:BH=
13
2
,所以利用勾股定理得BG=
2
,因為BE⊥面A1BC,所以∠A1BE=90°,
A1E=2BG=2
2
,A1B=2,A1C=A1B=BC=2最后求得結果.
解答: 解:(1)直角三角形ABE,AB⊥BE,AB=2BE=4,C,D分別是AB,AE上的中點,且CD∥BE,將△ACD沿CD折起到位置,使平面A1CD與平面BCD所成的二面角A1-CD-B的大小為θ,
當θ=
π
3
時,
求得:△A1BC為等邊三角形
取BC得中點F,
BF=CF=1
進一步利用勾股定理解得:A1F=
3

FE=
17

所以:直線A1E與平面BCD所成的角的正切值:
tanθ=
A1F
EF
=
3
17
17

(2)取DE中點H,連接GH,BH
因為G是A1E中點
所以GH∥A1D
因為BG⊥A1D
所以BG⊥GH
所以A1C=CB=2,BE=2,A1D=DE=
5

所以GH=
5
2
,EH=
5
2

cos∠BEH=
5
5

利用余弦定理得:
BH=
13
2

所以勾股定理得BG=
2

因為BE⊥面A1BC
所以∠A1BE=90°
A1E=2BG=2
2
,A1B=2,A1C=A1B=BC=2
所以cosθ=cos60°=
1
2

點評:本題考查的知識要點:線面的夾角問題的應用,面面夾角的應用及相關的運算問題.屬于中等難度題型.
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寫出所有正確結論的序號
 

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