Question

已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分別是AB，AE上的中點，且CD∥BE，將△ACD沿CD折起到位置A₁CD，使平面A₁CD與平面BCD所成的二面角A₁-CD-B的大小為θ，．
（1）若θ=

π

3

，求直線A₁E與平面BCD所成的角的正切值；
（2）已知G為A₁E的中點，若BG⊥A₁D，求cosθ的取值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）首先利用折疊前的相關量利用勾股定理，求出對應的線段長，利用θ=

π

3

，最為突破口，求出相對應的結果．
（2）采用轉化法取DE中點H，連接GH，BH，因為G是A₁E中點，所以GH∥A₁D進一步求出，BG⊥GH和
A₁C=CB=2，BE=2，A₁D=DE=

5

，所以GH=

5

2

，EH=

5

2

最后利用三角形的關系解得：cos∠BEH=

5

5

，利用余弦定理得：BH=

13

2

，所以利用勾股定理得BG=

2

，因為BE⊥面A₁BC，所以∠A₁BE=90°，
A₁E=2BG=2

2

，A₁B=2，A₁C=A₁B=BC=2最后求得結果．

解答： 解：（1）直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分別是AB，AE上的中點，且CD∥BE，將△ACD沿CD折起到位置，使平面A₁CD與平面BCD所成的二面角A₁-CD-B的大小為θ，
當θ=

π

3

時，
求得：△A₁BC為等邊三角形
取BC得中點F，
BF=CF=1
進一步利用勾股定理解得：A1F=

3

FE=

17

所以：直線A₁E與平面BCD所成的角的正切值：
tanθ=

A1F

EF

=

3 17

17

（2）取DE中點H，連接GH，BH
因為G是A₁E中點
所以GH∥A₁D
因為BG⊥A₁D
所以BG⊥GH
所以A₁C=CB=2，BE=2，A₁D=DE=

5

所以GH=

5

2

，EH=

5

2

cos∠BEH=

5

5

利用余弦定理得：
BH=

13

2

所以勾股定理得BG=

2

因為BE⊥面A₁BC
所以∠A₁BE=90°
A₁E=2BG=2

2

，A₁B=2，A₁C=A₁B=BC=2
所以cosθ=cos60°=

1

2

點評：本題考查的知識要點：線面的夾角問題的應用，面面夾角的應用及相關的運算問題．屬于中等難度題型．