Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，若函數(shù)y=f（x）滿足下列兩個條件，則稱y=f（x）在定義域D上是閉函數(shù)．
①y=f（x）在D上是單調(diào)函數(shù)；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域為[a，b]．
如果函數(shù)f（x）=

2x+1

+k為閉函數(shù)，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若函數(shù)f（x）=

2x+1

+k為閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）的值域為[a，b]，即

a= 2a+1 +k b= 2b+1 +k

，故a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x≥-

1

2

，x≥k）的兩個不相等的實數(shù)根，由此能求出k的取值范圍．

解答： 解：若函數(shù)f（x）=

2x+1

+k為閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，
在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）的值域為[a，b]，
即

a= 2a+1 +k b= 2b+1 +k

，
∴a，b是方程x=

2x+1

+k的兩個實數(shù)根，
即a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x≥-

1

2

，x≥k）的兩個不相等的實數(shù)根，
當(dāng)k≤-

1

2

時，

△=[-(2k+2)]2-4(k2-1)＞0 f(- 1 2 )= 1 4 + 1 2 (2k+2)+k2-1≥0 2k+2 2 ＞- 1 2

解得，-1＜k≤-

1

2

；
當(dāng)k＞-

1

2

時，

△=[-(2k+2)]2-4(k2-1)＞0 f(k)=k2-(2k+2)•k+k2-1＞0 2k+2 2 ＞k

解得k無解．
綜上，可得-1＜k≤-

1

2

．
故答案為：（-1，-

1

2

]

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及新定義型函數(shù)的理解，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．