Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（a，4）為拋物線C上的定點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線C上的動點(diǎn)．且△FOA的外接圓圓心到準(zhǔn)線的距離為

3

2

．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過P作圓x²+（y-1）²=

1

4

的兩條切線分別交該圓于點(diǎn)M，N，求四邊形PMFN面積的最小值及此時P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）設(shè)點(diǎn)T（0，t），且對拋物線C上的任意動點(diǎn)P，∠TPF總為銳角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意得出圓心的縱坐標(biāo)為

p

4

，由圓心到準(zhǔn)線的距離等于

3

2

，求出p的值，則拋物線方程可求；
（2）S_PMFN=2S_△PMF=2

1

2

|PM||MF|=

1

2

|PM|，即可求四邊形PMFN面積的最小值及此時P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）根據(jù)題意：∠TPF為銳角⇒

PT

•

PF

＞0且t≠

p

2

，利用向量的數(shù)量積公式，可得

PT

•

PF

=y₀²-（t-3）y₀+t，記：f（y₀）=y₀²-（t-3）y₀+t在y₀∈[0，+∞）上恒成立，分類討論，即可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）△FOA的外接圓的圓心在線段OF的中垂線y=

p

4

上，則圓心的縱坐標(biāo)為

p

4

故到準(zhǔn)線的距離為

p

2

+

p

4

=

3

2

從而p=2…（2分）
即拋物線C的方程為：x²=4y．…（4分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則
∵圓心坐標(biāo)（0，1）是拋物線C的焦點(diǎn)F
∴|PF|=y₀+1…（6分）
SPMFN=2S△PMF=2•

1

2

•|PM|•|MF|=

1

2

|PM|=

1

2

|PF|2- 1 4

=

1

2

(y0+1)2- 1 4

  (y0≥0)…（8分）
∴當(dāng)y₀=0時，四邊形PMFN面積的最小值為

3

4

，此時點(diǎn)P（0，0）．…（10分）
（3）（理）根據(jù)題意：∠TPF為銳角⇒

PT

•

PF

＞0且t≠

p

2

∵

PT

=（-x₀，t-y₀），

PF

=（-x₀，1-y₀），
∴

PT

•

PF

=y₀²-（t-3）y₀+t…（11分）
記：f（y₀）=y₀²-（t-3）y₀+t在y₀∈[0，+∞）上恒成立
又f（y₀）=（y₀-

t-3

2

）²-

t2-10t+9

4

．
當(dāng)

t-3

2

≥0時，即：t∈[3，+∞）
當(dāng)y₀=

t-3

2

時，f（y₀）_min=-

t2-10t+9

4

＞0解得：1＜t＜9，
∴t∈[3，9]；
當(dāng)

t-3

2

＜0時，即：t∈（-∞，3）當(dāng)y₀=0時，f（y₀）_min=t＞0，
∴t∈（0，3）…（15分）
綜合得：t∈（0，1）∪（1，9）（16分）

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了方程思想和函數(shù)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．