Question

已知f（x）=|x²-2|+x²+ax．
（1）若a=3，求方程f（x）=0的解；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂．
①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②證明：

2

＜

1

x1

+

1

x2

＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：帶絕對值的函數(shù)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若a=3，f（x）=|x²-2|+x²+3x=

2x2+3x-2，x≤- 2 或x≥ 2 2+3x，- 2 ＜x＜ 2

，即可求方程f（x）=0的解；
（2）①函數(shù)f（x）在（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，-a=g（x）=

2x- 2 x ， 2 ≤x＜2 2 x ，0＜x＜ 2

在（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，作出函數(shù)g（x）的圖象，由圖求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②由①得，

2

x1

=-k，2x2-

2

x2

=-k，可得

1

x1

+

1

x2

=x₂，利用

2

＜x₂＜2，即可證明：

2

＜

1

x1

+

1

x2

＜2．

解答： 解：（Ⅰ）a=3時(shí)，f（x）=|x²-2|+x²+3x=

2x2+3x-2，x≤- 2 或x≥ 2 2+3x，- 2 ＜x＜ 2

所以當(dāng)x≤-

2

或x≥

2

時(shí)，得x=-2，或x=

1

2

（舍去）
當(dāng)-

2

＜x＜

2

時(shí)，2+3x=0得x=-

2

3

所以a=3時(shí)，方程f（x）=0的解是x=-2或x=-

2

3

-----------（5分）
（Ⅱ）①函數(shù)f（x）在（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
-a=g（x）=

2x- 2 x ， 2 ≤x＜2 2 x ，0＜x＜ 2

在（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，作出函數(shù)g（x）的圖象，由圖可知：
當(dāng)且僅當(dāng)

2

＜-a＜3，即-3＜a＜-

2

時(shí)，g（x）在（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)
所以，-3＜a＜-

2

時(shí)，函數(shù)（x）在（0，2）上有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂．----------（11分）
（②由①得，

2

x1

=-k，2x2-

2

x2

=-k，
所以

1

x1

+

1

x2

=x₂，而

2

＜x₂＜2
所以

2

＜

1

x1

+

1

x2

＜2----------（15分）

點(diǎn)評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)的圖象，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．