Question

【題目】已知數(shù)列、滿足：.

（1）求；

（2）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，不等式恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由已知，整理可得遞推公式，從而可算出，，；（2）由（1）遞推公式整理可得，即，且，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以；（3）由（1）、（2）可求得，而，

所以，則，由條件可知恒成立即可滿足條件，從而構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的性質(zhì)可得解當(dāng)時(shí)，恒成立.

試題解析：（1），

∵，∴.……………………………………6分

（2）∵，∴，

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.

∴.…………………………6分

（3）由于，所以，從而，則.

，

∴，

由條件可知恒成立即可滿足條件，

設(shè)，

當(dāng)時(shí)，恒成立；

當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立；

當(dāng)時(shí)，對稱軸，在為單調(diào)遞減函數(shù)，

，

∴，∴時(shí)，恒成立.

綜上知：時(shí)，恒成立.…………………………………………12分