Question

一列地鐵有8節(jié)車廂，每天在一個班次時間內(nèi)往返起點和終點共30次，若這列地鐵加掛4個車廂，則同樣一個班次可以往返20次，經(jīng)測算，車廂增加的節(jié)數(shù)與每班次往返次數(shù)的減少成正比，問：
（1）如果加上原來的8節(jié)車廂，一共掛14節(jié)車廂，可以往返的次數(shù)為多少？
（2）地鐵調(diào)度室應該怎樣安排這列地鐵每班次往返次數(shù)及每次需加掛幾個車廂，才能使每班次乘客的運輸總量最大？（注：考慮乘客的運輸總量時，認為所有車廂都滿員．）

Answer 1

考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

專題：應用題

分析：（1）設(shè)車廂增加的節(jié)數(shù)為n，往返減少次數(shù)為t，得到正比例關(guān)系t=kn，由n=4時t=10求得k的值，則k可求，正比例關(guān)系可求，然后再由掛14節(jié)增加的節(jié)數(shù)得答案；
（2）由題意可得這列地鐵每班次往返次數(shù)y與加掛車廂節(jié)數(shù)x的關(guān)系為y=

30-20

8-12

(x-8)+30=-

5

2

x+50，每班次乘客的運輸總量f（x）=xy，代入y后由二次函數(shù)的最值得答案．

解答： 解：（1）設(shè)車廂增加的節(jié)數(shù)為n，往返減少次數(shù)為t，則t=kn，
由題意，10=4k，即k=

5

2

，
∴t=

5

2

n，
若一共掛14節(jié)車廂，則增加6節(jié)，減少次數(shù)為t=

5

2

×6=15，
∴如果加上原來的8節(jié)車廂，一共掛14節(jié)車廂，可以往返的次數(shù)為30-15=15（次）；
（2）由題意可得這列地鐵每班次往返次數(shù)y與加掛車廂節(jié)數(shù)x的關(guān)系為y=

30-20

8-12

(x-8)+30=-

5

2

x+50，
每班次乘客的運輸總量f（x）=xy=-

5

2

x2+50x，
當x=

-50

2×(- 5 2 )

=10時運輸總量最大．

點評：本題考查了根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型，考查了簡單的數(shù)學建模思想方法，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．