用分析法證明：若a＞0，則
a2+
1
a2
+2≥a+
1
a
+
2
．
考點：綜合法與分析法(選修）
專題：證明題,分析法
分析：分析使不等式
a2+
1
a2
+2≥a+
1
a
+
2
成立的充分條件，一直分析到使不等式成立的充分條件顯然具備，從而不等式得證．
解答： 證明：要證
a2+
1
a2
+2≥a+
1
a
+
2
，
∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（
a2+
1
a2
+2）2≥（a+
1
a
+
2
）2-----------（2分）
只需證
a2+
1
a2
≥
2
2
（a+
1
a
），-----------（4分）
只需證a2+
1
a2
≥
1
2
（a2+
1
a2
+2），-----------（6分）
即證a2+
1
a2
≥2，它顯然成立．
∴原不等式成立．-----------（8分）
點評：本題考查用分析法證明不等式，關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

試證明函數(shù)f（x）=
2
x2
在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知公差不為零的等差數(shù)列{xn}中，x1=25，且x1，x11，x13成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項公式；
（Ⅱ）求和：x1+x4+x7+…+x3n-2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，前n項和為Sn，且a3=4，S4=S2+12．
（1）求數(shù)列的通項公式an；
（2）若bn=（2n+2）an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn；
（3）記Cn=
2n+1
an
，證明Cn+1＜Cn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+
π
4
）=
2
，以極點為原點，極軸為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系．在直角坐標(biāo)系下，曲線C1的參數(shù)方程為
x=2cosφ
y=2sinφ
（φ為參數(shù)），把曲線C1上所有點的橫坐標(biāo)壓縮到原來的
1
2
（縱坐標(biāo)不變）得到曲線C2．
（1）寫出直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C2的普通方程；
（2）若點Q是曲線C2上任意一點，求點Q到直線l的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知極坐標(biāo)的極點在直角坐標(biāo)系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的參數(shù)方程為
x=tcosα
y=tsinα
（t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2-8ρcosθ+12=0．
（Ⅰ）若直線l與圓C相切，求α的值；
（Ⅱ）若直線l與圓C有公共點，求α的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項的和為Sn=n2+n，{bn}是等比數(shù)列，且a1=b1，b2（a2-a1）=6b1．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）設(shè)cn=
an
bn
，求數(shù)列{cn}的前n項的和Tn．
（3）設(shè)dn=
n(n+1)bn
，數(shù)列{dn}的前n項的和為Dn，求證：Dn＜n•3n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若點P到直線y=-3的距離與它到點（0，3）的距離相等，則點P的軌跡方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x，x≥0
x2，x＜0
，則關(guān)于x的不等式f（x2）＞f（3-2x）的解集是
 
．

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同步練習(xí)冊答案