Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n=n²+n，{b_n}是等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=6b₁．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項的和T_n．
（3）設(shè)d_n=

n(n+1)bn

，數(shù)列{d_n}的前n項的和為D_n，求證：D_n＜n•3ⁿ．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)S_n的表達(dá)式求得S_n-1的表達(dá)式，進(jìn)而兩式相減求得a_n．
（2）利用錯位相減法，即可求數(shù)列{c_n}的前n項的和T_n．
（3）求得數(shù)列{d_n}的通項，再放縮，利用錯位相減法求和，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：∵S_n=n²+n
∴S_n-1=（n-1）²+（n-1）=n²-n（n≥2）
∴a_n=2n（n≥2）
又a₁=S₁=2滿足a_n=2n
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n；
又a₁=b₁，∴b₁=2，
∵b₂（a₂-a₁）=6b₁，
∴b₂=6，∴q=3，
∴b_n=2×3^n-1．  
（2）解：c_n=

an

bn

=

n

3n-1

，
∴T_n=1+2•3+3•3²+…+n•3^n-1，
∴

1

3

T_n=

1

3

+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
∴兩式相減整理可得T_n=

9

4

-

2n+3

4×3n-1

；
（3）證明：由d_n=

n(n+1)bn

，可得d_n=

n(n+1)

×2×3^n-1，
∴D_n=

1×2

×2+

2×3

×2×3+…+

n(n+1)

×2×3^n-1
＜（1+2）+（2+3）×3+…+（n+n+1）×3^n-1
=3+5×3+7×3²+…+（2n+1）×3^n-1，
令M_n=3+5×3+7×3²+…+（2n+1）×3^n-1，①
3M_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n+1）×3ⁿ，②
①-②得：-2M_n=3+2×3+2×3²+2×3³+…+2×3^n-1-（2n+1）×3ⁿ=-2n•3ⁿ
∴M_n=n•3ⁿ，即D_n＜n•3ⁿ．

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查錯位相減法，考查不等式的證明．對等差數(shù)列和等比數(shù)列的相關(guān)公式應(yīng)強(qiáng)化記憶．