考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)根據(jù)Sn的表達(dá)式求得Sn-1的表達(dá)式,進(jìn)而兩式相減求得an.
(2)利用錯位相減法,即可求數(shù)列{cn}的前n項的和Tn.
(3)求得數(shù)列{dn}的通項,再放縮,利用錯位相減法求和,即可證明結(jié)論.
解答:
(1)解:∵S
n=n
2+n
∴S
n-1=(n-1)
2+(n-1)=n
2-n(n≥2)
∴a
n=2n(n≥2)
又a
1=S
1=2滿足a
n=2n
∴數(shù)列{a
n}的通項公式為a
n=2n;
又a
1=b
1,∴b
1=2,
∵b
2(a
2-a
1)=6b
1,
∴b
2=6,∴q=3,
∴b
n=2×3
n-1.
(2)解:c
n=
=
,
∴T
n=1+2•3+3•3
2+…+n•3
n-1,
∴
T
n=
+2•3
2+3•3
3+…+n•3
n,
∴兩式相減整理可得T
n=
-
;
(3)證明:由d
n=
,可得d
n=
×2×3
n-1,
∴D
n=
×2+
×2×3+…+
×2×3
n-1<(1+2)+(2+3)×3+…+(n+n+1)×3
n-1=3+5×3+7×3
2+…+(2n+1)×3
n-1,
令M
n=3+5×3+7×3
2+…+(2n+1)×3
n-1,①
3M
n=3×3+5×3
2+7×3
3+…+(2n+1)×3
n,②
①-②得:-2M
n=3+2×3+2×3
2+2×3
3+…+2×3
n-1-(2n+1)×3
n=-2n•3
n∴M
n=n•3
n,即D
n<n•3
n.
點(diǎn)評:本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì),考查錯位相減法,考查不等式的證明.對等差數(shù)列和等比數(shù)列的相關(guān)公式應(yīng)強(qiáng)化記憶.