Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下如所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

（Ⅰ）證明：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）設(shè)直線C₁N與平面CNB₁所成的角為θ，求cosθ的值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）方法一先由題意判斷出該幾何體的直觀圖，利用直線與平面垂直的判定定理證明；方法二：利用空間向量的數(shù)量積，結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可；
（II）方法一，先利用等體積法可求C₁到面CB₁N的距離，找出角，然后求解；方法二，利用空間向量法，求出直線的方向向量，平面的法向量然后求解即可．

解答： 解：（1）證明：方法一：由題意：該幾何體的正視圖其輪廓為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

則B₁C₁⊥面ABB₁N，且在面ABB₁N內(nèi)，易證∠BNB₁為直角．
∵B₁C₁⊥面ABB₁N，且BN?面ABB₁N，
∴B₁C₁⊥BN
又∵BN⊥B₁N，且B₁N∩B₁C₁=B₁，
∴BN⊥面B₁NC₁
方法二：該幾何體的正視圖其輪廓為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，則BA，BC，BB₁兩兩垂直．以BA，BC，BC₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4），
∵

BN

•

NB1

=0，

BN

•

B1C1

=0
∴BN⊥NB₁，且BN∩B₁C₁，
又∵B₁N∩B₁C₁=B₁∴BN⊥面B₁NC₁
（2）方法一：利用等體積法可求C₁到面CB₁N的距離為h=

4 6

3

，
則直線C₁N與平面CNB₁所成的角θ的正弦值為sinθ=

2

3

，從而cosθ=

7

3

方法二：設(shè)

n

=(x0，y0，z0)為平面CNB₁的一個法向量，
則

n • CN =0 n • NB1 =0

即

x0+y0-z0=0 x0-y0=0

，令x₀=1，則

n

=(1，1，2)．
又

C1N

=(4，-4，-4)．
則sinθ=|cos＜

n

，

C1N

＞|=

2

3

，從而cosθ=

7

3

點評：本題考查的知識點線面垂直的判定定理；線面角，考查空間想象能力以及計算能力．