Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，對(duì)任意的n∈N^*，定義b_n=a_n+1-a_n．
（Ⅰ） 若b_n=n+1
（i）求a₃的值和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（ii）求數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）若b_n+1=b_n+2b_n（n∈N^*），且b₁=2，b₂=3，求數(shù)列{b_n}的前3n項(xiàng)的和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）（i）由a₁=1，a₂=a₁+b₁，可得a₃=a₂+b₂．
由a_n+1-a_n=n+1可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1），再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（ii）由（i）得：

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．
（II）對(duì)任意的n∈N^*有b_n+1=b_n+2b_n（n∈N^*），且b₁=2，b₂=3，可得bn+6=

bn+5

bn+4

=

bn+4

bn+3bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=b_n，即數(shù)列{b_n}各項(xiàng)的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為6．對(duì)n分類(lèi)討論即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）（i）∵a₁=1，a₂=a₁+b₁=1+2=3，
∴a₃=a₂+b₂=3+3=6．
．由a_n+1-a_n=n+1得
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+…+n
=

n(n+1)

2

，
而a₁=1適合上式，
∴an=

n(n+1)

2

．
（ii）由（i）得：

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴S_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)
=

2n

n+1

．
（Ⅱ）∵對(duì)任意的n∈N^*有b_n+1=b_n+2b_n（n∈N^*），且b₁=2，b₂=3，
∴bn+6=

bn+5

bn+4

=

bn+4

bn+3bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=b_n，
∴數(shù)列{b_n}各項(xiàng)的值重復(fù)出現(xiàn)，周期為6．
又?jǐn)?shù)列{b_n}的前6項(xiàng)分別為2，3，

3

2

，

1

2

，

1

3

，

2

3

，且這六個(gè)數(shù)的和為8．
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則，
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，
S_3n=S_6k=k（b₁+b₂+…+b₆）=8k，
當(dāng)n=2k+1（k∈N^*）時(shí)，
S_3n=S_6k+3=k（b₁+b₂+…+b₆）+b₁+b₂+b₃=8k+

13

2

，
當(dāng)n=1時(shí)，S₃=

13

2

．
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_3n=4n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S3n=4n+

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的周期性；考查了分類(lèi)討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．