Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式和前n項和S_n；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}從哪一項開始小于0？
（Ⅲ）設(shè)T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由于a_n+2-2a_n+1+a_n=0，可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
（II）由a_n＜0，解得n即可得出．
（III）當(dāng)n≤5時，a_n≥0．|a_n|=a_n．T_n=S_n即可得出．當(dāng)n＞5時，a_n＜0．∴T_n=T₅-a₆-a₇-…-a_n=2T₅-S_n即可得出．

解答： 解：（I）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d．
∴2=8+3d，解得d=-2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=8-2（n-1）=10-2n．
S_n=

n(8+10-2n)

2

=-n²+9n．
（II）由a_n=10-2n＜0，解得n＞5．
∴從第5項開始小于0．
（III）①當(dāng)n≤5時，a_n≥0．
∴T_n=S_n=-n²+9n．
②當(dāng)n＞5時，a_n＜0．
∴T_n=T₅-a₆-a₇-…-a_n=2T₅-S_n
=n²-9n+40．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、含絕對值符號的數(shù)列求和問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．