Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+

π

3

）（A＞0，ω＞0）與y=-sinx的圖象關(guān)于一直線對(duì)稱．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若關(guān)于x的方程g（x）+m=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）可得兩圖象的形狀和大小完全一樣，只是位置不同，比較可得解析式；（Ⅱ）由圖象變化法則可得g（x）=sin（2x+

π

3

），問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)g（x）的圖象與y=-m只有一個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+

π

3

）（A＞0，ω＞0）與y=-sinx的圖象關(guān)于一直線對(duì)稱，
∴它們的圖象的形狀和大小完全一樣，只是位置不同，
∴函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式為f（x）=sin（x+

π

3

）；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
∴g（x）=sin（2x+

π

3

），可得g（x）在[0，

π

12

]單調(diào)遞增，在[

π

12

，

π

2

]單調(diào)遞減，
其圖象如圖所示，
關(guān)于x的方程g（x）+m=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
等價(jià)于函數(shù)g（x）的圖象與y=-m只有一個(gè)公共點(diǎn)，
由圖象可得-m=1，或-

1

2

≤-m＜

3

2

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：m=-1或-

3

2

＜m≤

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)圖象的變換和作圖，屬中檔題．