Question

設(shè)函數(shù)f（x）=4^x-

1

x+2

．
（1）用定義證明f（x）在（-2，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求f（x）的零點的個數(shù)．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）在（-2，+∞）上是增函數(shù)．
（2）利用函數(shù)零點的判定定理證得f（x）在區(qū)間(-

1

2

，0)內(nèi)有零點，再根據(jù)f（x）在（-2，+∞）上是增函數(shù)，可得f（x）在（-2，+∞）內(nèi)僅有一個零點．

解答： 解：（1）證明：設(shè)x₁＞x₂＞-2，由于函數(shù)f（x）=4^x-

1

x+2

，則f(x1)=4x1-

1

x1+2

，f(x2)=4x2-

1

x2+2

，
所以f（x₁）-f（x₂）=4x1-

1

x1+2

-(4x2-

1

x2+2

)=4x1-4x2+

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

．
∵x₁＞x₂＞0，y=4^x是增函數(shù)，∴4x1-4x2＞0，

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（-2，+∞）上是增函數(shù)．
（2）函數(shù)f(x)=4x-

1

x+2

的定義域為x∈R且x≠-2，
當x∈（-2，+∞）時，∵f(-

1

2

)=4-

1

2

-

1

- 1 2 +2

=

1

2

-

2

3

＜0，f(0)=1-

1

2

=

1

2

＞0，
∴f(-

1

2

)f(0)＜0，∴f（x）在區(qū)間(-

1

2

，0)內(nèi)有零點．
又由（1）知f（x）在（-2，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）在（-2，+∞）內(nèi)僅有一個零點．
又x＜-2時，f(x)=4x-

1

x+2

＞0，∴f（x）的零點的個數(shù)為1．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)零點的判定定理，方程的根的存在性及個數(shù)判斷，屬于基礎(chǔ)題．