Question

設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：
①對于任意實(shí)數(shù)a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-p，其中p是正實(shí)常數(shù)；
②f（2）=p-1；
③當(dāng)x＞1時(shí)，總有f（x）＜p．
（1）求f（1）與f（

1

2

）的值（用p表示）；
（2）設(shè)a_n=f（2ⁿ）n∈N⁺，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)且僅當(dāng)n=5時(shí)，S_n取得最大值，求p的取值范圍； 
（3）設(shè)m=e^t，n=t+1（t＞0），判斷f（m）與f（n）的大小并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法結(jié)合條件即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)數(shù)列的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）令a=b=1，則f（1）=2f（1）-p，故f（1）=p，
又f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）-p，且f（2）=p-1，
得f（

1

2

）=f（1）-f（2）+p=p+1；
（2）a_n=f（2ⁿ），n∈N⁺，則a_n+1=f（2ⁿ⁺¹）=f（2•2ⁿ）=f（2）+f（2ⁿ）-p=a_n-1，
則a_n+1-a_n=-1，
a₁=f（2）=p-1，
則數(shù)列{a_n}是公差為-1的等差數(shù)列，
則a_n=p-1-（n-1）=-n+p，
∵當(dāng)且僅當(dāng)n=5時(shí)，S_n取得最大值，
∴

a5=-5+p＞0 a6=-6+p＜0

，解得5＜p＜6，
即p的取值范圍是（5，6）； 
（3）設(shè)0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，由③知f（

x2

x1

）＜p，即f（

x2

x1

）-p＜0
f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

•x₁）-f（x₁）=[f（

x2

x1

•）+f（x₁）-p]-f（x₁）=f（

x2

x1

）-p＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞減．
設(shè)h（t）=e^t-t-1，則h′（t）=e^t-1，當(dāng)t＞0時(shí)，h′（t）＞0，
∴h（t）在（0，+∞）上的單調(diào)單調(diào)遞增，
∴e^t＞t+1，∴m＞n時(shí)，f（m）＜f（n）．

點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)是應(yīng)用．