如圖，考慮點(diǎn)A(1，0)，(cosα，sinα)，(cosβ，－sinβ)，P(cos(α＋β)，sin(α＋β))．你能從這個(gè)圖出發(fā)，推導(dǎo)出公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ嗎？

，

．

分析上述各式的共同特點(diǎn)，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明．

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對唯一表示，這使我們想到可以用向量作為解析幾何的研究工具．如圖，設(shè)直線l的傾斜角為α(α≠90°)．在l上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，，不妨設(shè)向量的方向是向上的，那么向量的坐標(biāo)是()．過原點(diǎn)作向量，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()，而且直線OP的傾斜角也是α．根據(jù)正切函數(shù)的定義得

這就是《數(shù)學(xué)2》中已經(jīng)得到的斜率公式．上述推導(dǎo)過程比《數(shù)學(xué)2》中的推導(dǎo)簡捷．你能用向量作為工具討論一下直線的有關(guān)問題嗎？例如：

(1)過點(diǎn)，平行于向量的直線方程；

(2)向量(A，B)與直線的關(guān)系；

(3)設(shè)直線和的方程分別是

，

，

那么，∥，的條件各是什么？如果它們相交，如何得到它們的夾角公式？

(4)點(diǎn)到直線的距離公式如何推導(dǎo)？

在△ABC中，若，那么點(diǎn)O在△ABC的什么位置？

某人在靜水中游泳，速度為千米/時(shí)．他在水流速度為4千米/時(shí)的河中游泳．

(1)如果他垂直游向河對岸，那么他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度為多少？

(2)他必須朝哪個(gè)方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度為多少？

已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P．

(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)A(1，2)，點(diǎn)B(，)．把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)設(shè)平面內(nèi)曲線C上的每一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)的軌跡是曲線，求原來曲線C的方程．

一條河的兩岸平行，河的寬度d＝500m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸．已知船的靜水速度，水流速度．要使船行駛的時(shí)間最短，那么船行駛的距離與合速度的比值必須最�。�此時(shí)我們分三種情況討論：

(1)當(dāng)船逆流行駛，與水流成鈍角時(shí)；

(2)當(dāng)船順流行駛，與水流成銳角時(shí)；

(3)當(dāng)船垂直于對岸行駛，與水流成直角時(shí)．

以初速度，拋射角θ投擲鉛球，求鉛球上升的最大高度和最大投擲距離．

△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)，，

(1)證明A、O、E三點(diǎn)在同一直線上，且；

(2)用a、b表示向量．

平面向量的數(shù)量積a·b是一個(gè)非常重要的概念，利用它可以容易地證明平面幾何的許多命題，例如勾股定理、菱形的對角線相互垂直、長方形對角線相等、正方形的對角線垂直平分等．請你給出具體證明．