科目: 來源: 題型:044
如圖,考慮點(diǎn)A(1,0),(cosα,sinα),
(cosβ,-sinβ),P(cos(α+β),sin(α+β)).你能從這個(gè)圖出發(fā),推導(dǎo)出公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ嗎?
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平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示,這使我們想到可以用向量作為解析幾何的研究工具.如圖,設(shè)直線l的傾斜角為α(α≠90°).在l上任取兩個(gè)不同的點(diǎn),
,不妨設(shè)向量
的方向是向上的,那么向量
的坐標(biāo)是(
).過原點(diǎn)作向量
,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(
),而且直線OP的傾斜角也是α.根據(jù)正切函數(shù)的定義得
這就是《數(shù)學(xué)2》中已經(jīng)得到的斜率公式.上述推導(dǎo)過程比《數(shù)學(xué)2》中的推導(dǎo)簡(jiǎn)捷.你能用向量作為工具討論一下直線的有關(guān)問題嗎?例如:
(1)過點(diǎn),平行于向量
的直線方程;
(2)向量(A,B)與直線的關(guān)系;
(3)設(shè)直線和
的方程分別是
,
,
那么,∥
,
的條件各是什么?如果它們相交,如何得到它們的夾角公式?
(4)點(diǎn)到直線
的距離公式如何推導(dǎo)?
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科目: 來源: 題型:044
某人在靜水中游泳,速度為千米/時(shí).他在水流速度為4千米/時(shí)的河中游泳.
(1)如果他垂直游向河對(duì)岸,那么他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)?實(shí)際前進(jìn)的速度為多少?
(2)他必須朝哪個(gè)方向游,才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)?實(shí)際前進(jìn)的速度為多少?
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已知對(duì)任意平面向量,把
繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量
,叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P.
(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)A(1,2),點(diǎn)B(,
).把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)
后得到點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)設(shè)平面內(nèi)曲線C上的每一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)的軌跡是曲線
,求原來曲線C的方程.
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一條河的兩岸平行,河的寬度d=500m,一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸.已知船的靜水速度,水流速度
.要使船行駛的時(shí)間最短,那么船行駛的距離與合速度的比值必須最�。藭r(shí)我們分三種情況討論:
(1)當(dāng)船逆流行駛,與水流成鈍角時(shí);
(2)當(dāng)船順流行駛,與水流成銳角時(shí);
(3)當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛,與水流成直角時(shí).
請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算上面三種情況,是否當(dāng)船垂直于對(duì)岸行駛時(shí),與水流成直角時(shí),所用時(shí)間最短.
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△ABC中,D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn),BF與CD交于點(diǎn)O,設(shè),
,
(1)證明A、O、E三點(diǎn)在同一直線上,且;
(2)用a、b表示向量.
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平面向量的數(shù)量積a·b是一個(gè)非常重要的概念,利用它可以容易地證明平面幾何的許多命題,例如勾股定理、菱形的對(duì)角線相互垂直、長(zhǎng)方形對(duì)角線相等、正方形的對(duì)角線垂直平分等.請(qǐng)你給出具體證明.
你能利用向量運(yùn)算推導(dǎo)關(guān)于三角形、四邊形、圓等平面圖形的一些其他性質(zhì)嗎?
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