Question

18．如圖，一個(gè)質(zhì)量為M的凹槽右側(cè)緊挨著豎直的固定墻面，靜止在光滑水平面上，凹槽的內(nèi)表面ABC是半徑為R所謂半圓光滑圓弧，AC是半圓的水平直徑，B是半圓的最低點(diǎn)，一質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，已知m：M=2：3
（1）求小球第一次通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小
（2）以B點(diǎn)為高度起點(diǎn)，小球第一次通過(guò)B點(diǎn)后能夠到達(dá)的最大高度為多少？
（3）小球達(dá)到最高點(diǎn)后又返回B點(diǎn)時(shí)，小球與凹槽的速度各為多少？

Answer 1

分析 （1）小球向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，只有重力做功，由動(dòng)能定理即可求出速度；
（2）小球從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)在水平方向滿足動(dòng)量守恒定律，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，二者的速度相等，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒即可求出；
（3）小球達(dá)到最高點(diǎn)后又返回B點(diǎn)的過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)在水平方向滿足動(dòng)量守恒定律，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律即可求出．

解答 解：（1）A到B的過(guò)程中重力做功，$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=mgR$，得：
${v}_{1}=\sqrt{2gR}$
（2）小球從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)在水平方向滿足動(dòng)量守恒定律，到達(dá)最高點(diǎn)h時(shí)，二者的速度相等，選取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₁=（m+M）v₂
得：${v}_{2}=\frac{m{v}_{1}}{m+M}$
由機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{v}_{2}^{2}+mgh$
整理得：$h=\frac{MR}{M+m}$
（3）小球達(dá)到最高點(diǎn)后又返回B點(diǎn)的過(guò)程中，小球與槽組成的系統(tǒng)在水平方向滿足動(dòng)量守恒定律，選取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
$（m+M）{v}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{4}^{2}$
又機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{4}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{v}_{2}^{2}+mgh$
整理得：${v}_{3}=\frac{（m-M）{v}_{1}}{m+M}$=$\frac{（m-M）\sqrt{2gR}}{M+m}$，${v}_{4}=\frac{2m{v}_{1}}{m+M}=\frac{2m\sqrt{2gR}}{M+m}$
答：（1）小球第一次通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小是$\sqrt{2gR}$；
（2）以B點(diǎn)為高度起點(diǎn)，小球第一次通過(guò)B點(diǎn)后能夠到達(dá)的最大高度為$\frac{MR}{M+m}$；
（3）小球達(dá)到最高點(diǎn)后又返回B點(diǎn)時(shí)，小球與凹槽的速度各為$\frac{（m-M）\sqrt{2gR}}{M+m}$，$\frac{2m\sqrt{2gR}}{M+m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是兩個(gè)物體組成系統(tǒng)的動(dòng)量守恒問(wèn)題，由于研究的過(guò)程較多，所以難度系數(shù)稍微增大．該題只要按照規(guī)范的步驟逐步分析，即可正確解答．