福建省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008年4月高三質(zhì)量檢查試卷

         數(shù)學(xué)理科   2008.4

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P(A?B)=P(A)?P(B)

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率

第Ⅰ卷（選擇題  共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．已知復(fù)數(shù)z滿足=

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    A．          B．         C．          D．

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2．函數(shù)的圖象

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    A．關(guān)于x軸對(duì)稱                         B．關(guān)于直線對(duì)稱

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    C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱                         D．關(guān)于直線對(duì)稱

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3．已知非零向量

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    A．               B．2                C．               D．1

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4．若互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，ca,ab,bc成等比數(shù)列，且

    A．－8              B．4                C．－4              D．8

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5．在正四面體P―ABC中，D、E、F分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是   

    A．BC//平面PDF                          B．DF⊥平面PAE

    C．平面PDF⊥平面ABC                    D．平面PAE⊥平面ABC

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6．“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的

    A．充分不必要條件                       B．必要不充分條件

    C．充要條件                             D．既不充分也不必要條件

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7．已知上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是

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    A．（1，+）        B．（－，3）       C．           D．（1，3）

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8．袋中有60個(gè)小球，其中紅色球24個(gè)、藍(lán)色球18個(gè)、白色球12個(gè)、黃色球6個(gè)，從中隨機(jī)抽取10個(gè)球作成一個(gè)樣本，則這個(gè)樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為

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    A．                    B．

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    C．                    D．

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9．在區(qū)間[－1，3]上的最大值是

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    A．－2              B．0                C．2                D．

    
 
    
  
  
    
   
    
    
    
    
    
    20080422
    

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        A．               B．               C．               D．
    

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    11．若多項(xiàng)多
        A．509              B．510              C．511              D．1022
    

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    12．如圖，M是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到點(diǎn)C（3，1）與點(diǎn)B的距離之和為S，則S的取值范圍是
    

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        A．  
    

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        B．
    

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        C．  
    

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        D．
     
    第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
    

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    二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分，把答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線上.
    13．已知的最小值是           
.
    

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    14．從依次標(biāo)著數(shù)字0，1，2，3的六張?zhí)柎a牌中不放回地隨機(jī)選取兩張，這兩張?zhí)柎a牌的數(shù)字之和的數(shù)學(xué)期望E=           
.
    

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    15．如圖，A、B、C分別為橢圓的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，若∠ABC=90°，則該橢圓的離心率為           
.
    

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    16．對(duì)于函數(shù)定義域中任意的
    

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    ①  ②；
    

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    ③            ④
    

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    當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是           
.
     
    

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    三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
    17．（本小題滿分12分）已知函數(shù)
    

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       （1）求的定義域；
    

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       （2）已知的值.
     
     
     
     
     
     
    

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    18．（本小題滿分12分）如圖，P―ABC中，D是AC的中點(diǎn)，PA=PB=PC=
       （1）求證：PD⊥平面ABC；
       （2）求二面角P―AB―C的大�。�
       （3）求AB的中點(diǎn)E到平面PBC的距離.
     
     
     
    

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    19．（本小題滿分12分）某公司以每噸10萬(wàn)元的價(jià)格銷售某種化工產(chǎn)品，每年可售出該產(chǎn)品1000噸，若將該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲x%，則每年的銷售數(shù)量將減少mx%，其中m為正常數(shù).
    

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       （1）當(dāng)時(shí)，該產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲百分之幾，可使銷售的總金額最大？
       （2）如果漲價(jià)能使銷售總金額增加，求m的取值范圍.
     
     
     
     
     
    

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    20．（本小題滿分12分）已知上不相同的兩個(gè)點(diǎn)，l是弦AB的垂直平分線.
    

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       （1）當(dāng)+取何值時(shí)，可使拋物線的焦點(diǎn)F與原點(diǎn)O到直線l的距離相等？證明你的結(jié)論；
       （2）當(dāng)直線l的斜充為1時(shí)，求l在y軸上截距的取值范圍.
     
     
     
     
    

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    21．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且對(duì)任意正整數(shù)n都有
    

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       （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
    

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       （2）設(shè)
     
     
     
     
    

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    22．（本小題滿分14分）已知
    

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       （1）若函數(shù)是R上的增函數(shù)，求a的取值范圍；
    

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       （2）若 的單調(diào)增區(qū)間。
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    

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    一、選擇題
    


        
 
        
  
  
        
   
        
    
    
        
    
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        二、填空題
        13．2    14．3   15．   16．①③④
        三、解答題
        17．解：（1）……………………3分
        由得
        故……………………6分
        （2）因?yàn)?sub>
        故
        ………………9分
        ……………………12分
        文本框:  18．方法一：
        （1）證明：連結(jié)BD，
        ∵D分別是AC的中點(diǎn)，PA=PC=
        ∴PD⊥AC，
        ∵AC=2，AB=，BC=
        ∴AB2+BC2=AC2，
        ∴∠ABC=90°，即AB⊥BC.…………2分
        ∴BD=，
        ∵PD2=PA2―AD2=3，PB
        ∴PD2+BD2=PB2，
        ∴PD⊥BD，
        ∵ACBD=D
        ∴PD⊥平面ABC.…………………………4分
        （2）解：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、PE，由E為AB的中點(diǎn)知DE//BC，
        ∵AB⊥BC，
        ∴AB⊥DE，
        ∵DE是直線PE的底面ABC上的射景
        ∴PE⊥AB
        ∴∠PED是二面角P―AB―C的平面角，……………………6分
        在△PED中，DE=∠=90°，
        ∴tan∠PDE=
        ∴二面角P―AB―C的大小是
        （3）解：設(shè)點(diǎn)E到平面PBC的距離為h.
        ∵VP―EBC=VE―PBC，
        ∴……………………10分
        在△PBC中，PB=PC=，BC=
        而PD=
        ∴
        ∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為……………………12分
        方法二：
        （1）同方法一：
        （2）解：解：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、PE，
        過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，以D為
        


          
 
          
  
  
          
   
          
    
    
          
    
          DP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
          則D（0，0，0），P（0，0，），
          E（），B=（）
          設(shè)上平面PAB的一個(gè)法向量，
          則由
          這時(shí)，……………………6分
          顯然，是平面ABC的一個(gè)法向量.
          ∴
          ∴二面角P―AB―C的大小是……………………8分
          （3）解：
          設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量，
          由
          得
          令是平面PBC的一個(gè)法向量……………………10分
          又
          ∴點(diǎn)E到平面PBC的距離為………………12分
          19．解：（1）由題設(shè)，當(dāng)價(jià)格上漲x%時(shí)，銷售總金額為：
             （2）
          即……………………3分
          當(dāng)
          當(dāng)x=50時(shí)，
          即該噸產(chǎn)品每噸的價(jià)格上漲50%時(shí)，銷售總最大.……………………6分
          （2）由（1）
          如果上漲價(jià)格能使銷假售總金額增加，
          則有……………………8分
          即x>0時(shí)，
          ∴
          注意到m>0
          ∴  ∴   ∴
          ∴m的取值范圍是（0，1）…………………………12分
          20．解（1）由已知，拋物線，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（0，1）………………1分
          當(dāng)l與y軸重合時(shí)，顯然符合條件，此時(shí)……………………3分
          當(dāng)l不與y軸重合時(shí)，要使拋物線的焦點(diǎn)F與原點(diǎn)O到直線l的距離相等，當(dāng)且僅當(dāng)直線l通過(guò)點(diǎn)（）設(shè)l的斜率為k，則直線l的方程為
          由已知可得即………5分
          解得無(wú)意義.
          因此，只有時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)F與原點(diǎn)O到直線l的距離相等.……7分
          （2）由已知可設(shè)直線l的方程為……………………8分
          則AB所在直線為……………………9分
          代入拋物線方程………………①
          ∴的中點(diǎn)為
          代入直線l的方程得：………………10分
          又∵對(duì)于①式有：
          解得m>－1，
          ∴
          ∴l在y軸上截距的取值范圍為（3，+）……………………12分
          21．解：（1）在………………1分
          ∵
          ∴
          當(dāng)兩式相減得：
          即
          整理得：……………………3分
          ∴
          當(dāng)時(shí)，，滿足上式，
          ∴
          （2）由（1）知
          則………………8分
          ∴
          ……………………10分
          ∴…………………………12分
          22．解：（1）…………………………1分
          ∵是R上的增函數(shù)，故在R上恒成立，
          即在R上恒成立，……………………2分
          令
          …………3分
          由
          故函數(shù)上單調(diào)遞減，在（－1，1）上單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減。…………………………5分
          ∴當(dāng)
          又的最小值………………6分
          ∴亦是R上的增函數(shù)。
          故知a的取值范圍是……………………7分
          （2）……………………8分
          由
          ①當(dāng)a=0時(shí)，上單調(diào)遞增；…………10分
          可知
          ②當(dāng)
          即函數(shù)在上單調(diào)遞增；………………12分
          ③當(dāng)時(shí)，有，
          即函數(shù)在上單調(diào)遞增�！�14分
           
          
				
	
          
		
          


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