1、（理）設滿足不等式的解集為A，且，則實數(shù)的取值范圍是           ．；

（文）不等式的解集是              ．

2、常德市2007-2008學年度上學期高三水平檢測考試題

已知是關于的方程的兩個實根，那么的最小值為     ，最大值為      . 0，

3、哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學2008年高三實驗班第一次摸底考試數(shù)學試題

若關于x的不等式有解，則實數(shù)a的取值范圍是________.

4、武漢市2008屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研測試理科數(shù)學試題

當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為            。[]

5. 對任意正數(shù)x₁，x₂，若函數(shù)f(x)=lgx，試比較A=與B=的大小，答A________B   <

6. 江蘇省姜堰中學階段性考試

  函數(shù)在上的最大值為_____________

7. a、b、c、d均為實數(shù)，使不等式和都成立的一組值（a，b，c，d）是               ．（只要寫出適合條件的一組值即可）

解析：本題為開放題，只要寫出一個正確的即可，如（2，1，－3，2）．

評析：本題為開放題，考察學生對知識靈活處理問題的能力．

8．如果那么的取值范圍是_______。

答案：

解析：因

故

易錯警示：利用真數(shù)大于零得x不等于 ，從而正弦值就不等于.其實x等于時可取得該值。

9. 設M是△ABC內(nèi)一點，且，∠BAC＝30º，定義f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、p分別是△MBC、△MCA、△MAB的面積，若f(M)＝(，x，y)，則的最小值為     18   ．

10. 若實數(shù)的取值范圍是            。[―1，0]

11. 已知點（1，0）在直線的兩側(cè)，則下列說法

  （1）                         

（2）時，有最小值，無最大值

（3）恒成立        

（4）,, 則的取值范圍為（-

其中正確的是   （3）（4）   （把你認為所有正確的命題的序號都填上）

12. 在算式“2×□+1×□=30”的兩個口中，分別填入兩個自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則這兩個數(shù)應分別為          和         .   答案：9，12.

13. 考察下列一組不等式：   將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為

14. 在R上定義運算△：x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是    。

15. 用錘子以均勻的力敲擊鐵釘入木板。隨著鐵釘?shù)纳钊耄�鐵釘所受的阻力會越來越大，使得每次釘入木板的釘子長度后一次為前一次的。已知一個鐵釘受擊次后全部進入木板，且第一次受擊后進入木板部分的鐵釘長度是釘長的，請從這個實事中提煉出一個不等式組是   。

16. 同學們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級的平均分將降低；

   反之，如果按順序去掉一些低分，那么班級的平均分將提高. 這兩個事實可以用數(shù)學語

   言描述為：若有限數(shù)列 滿足，則                   

                                                        （結(jié)論用數(shù)學式子表示）.

和

17. 在4×□＋9×□=60的兩個□中，分別填入兩自然數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，應分別填上           和           。

答案：設兩數(shù)為x、y，即4x＋9y=60，又= ≥，等于當且僅當，且4x＋9y=60，即x=6且y=4時成立，故應分別有6、4。

18. 已知x>0，由不等式≥2?=2，=≥=3,

…，啟發(fā)我們可以得出推廣結(jié)論：≥n+1 (n∈N^*)，則a=_________ nⁿ ______．

19. 若、滿足條件，

（i）的軌跡形成的圖形的面積為1，則            ，

（ii）的最大值為               

 (1) 2 ，   (2)           

20. 當x＞2時，使不等式x+ ≥a恒成立的實數(shù)a的取值范圍是       （-∞，4]

21. 關于x的不等式：2－x²>|x－a|至少有一個負數(shù)解，則a的取值范圍是 （－，2） .

【解析】（數(shù)形結(jié)合）畫出y₁=2－x²，y₂=|x－a|的圖象.

由.

由Δ=1+4（a+2）=0a=－.

由圖形易得：a<2. ∴a∈（－，2）.

22. 函數(shù)的圖象恒過定點，若點在一次函數(shù)的圖象上，其中，則的最小值為__   8      ．

23. 不等式的解集為             ．

24. 數(shù)列由下列條件所確定：

   （I）；

   （II）滿足如下條件：

那么，當的通項公式為   

25. 已知的最大值為          

   解析：∵，當且僅當

   時取等號.

26.

上海市浦東新區(qū)2007學年度第一學期期末質(zhì)量抽測2008/1

1、已知非零實數(shù)、滿足，則下列不等式中成立的是…………………………（   ）

（A）；            （B）；         （C）         （D）

2、將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2、形狀為直角三角形的框架，在下列四

種長度的鐵絲中，選用最合理（夠用且浪費最少）的是……………………（ C ）

（A） 6.5m                   （B）  6.8m             （C）  7m                 （D）7.2m

3、設，若，則實數(shù)的取值范圍是（   ）

4、湖南省2008屆十二校聯(lián)考第一次考試

若a是 與的等比中項，則的最大值為（ D   ）

    A．        B．        C．                D．

5. 湖南省2008屆十二校聯(lián)考第一次考試

  設是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ C   ）

A．                                        B．                    

C．                                     D．

6. 2008年電白四中高三級2月測試卷

   數(shù)列三個實數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，若a+b+c=1成立，則b取值范圍是

       A．[0，]       B．[－1，]           C．[－，0]           D．（0，]

7. 成都外國語學校高2008級二月月考數(shù)學試題

當時不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（   ）

A.；          B.；                           C. ；                       D.  

8. 已知圓上任一點，其坐標均使得不等式≥0恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 

（A）          （B）           （C）           (D)

9. 為互不相等的正數(shù)，且，則下列關系中可能成立的是

A.　　　　　B.　　　　C.　　　   D.

    由可排除A,D,令可得可知C可能成立。

10. 某生物生長過程中，在三個連續(xù)時段內(nèi)的增長量都相等，在各時段內(nèi)平均增長速度分別為v₁，v₂,v₃,該生物在所討論的整個時段內(nèi)的平均增長速度為

  A.   B.   C.            D.

 解：設三個連續(xù)時段為t₁，t₂，t₃，各時段的增長量相等，設為M，則M= v₁ t₁= v₂ t₂=v₃ t₃，整個時段內(nèi)的平均增長速度為=，選D

11. 已知非零實數(shù)滿足，則下列不等式成立的是

A、         B、           C、         D、

解1：當時，淘汰A；當時，淘汰B；

當時，淘汰C；故選D；

解2：∵為非零實數(shù)且滿足 ∴，即，故選D；

解3：代特殊值進行驗證淘汰；

12. 若實數(shù)a,b,c滿足的最大值為

       A．1                        B．2                        C．3                        D．4

13. 若實數(shù)時，不等式恒成立，則的取值范圍 

       A．           B．(－2，1)   C．          D．

14. 已知不等式x²－log_mx－<0在x∈(0, )時恒成立，則m的取值范圍是（　   ）

　A．0<m<1                      B．≤m<1               C．m>1                       D．0<m<

15. 已知則x,y之間的大小關系是（      ）

A.                  B.                C.                D．不能確定

16. 已知|x-a|<b的解集為{x|2<x<4}, 則實數(shù)a等于

   A．1            B. 2              C. 3              D. 4

   選C． 的解集為，于是且，

   得

1、上海市部分重點中學高三第一次聯(lián)考

 如圖所示，某公園要在一塊綠地的中央修建兩個相同的矩形的池塘，每個面積為10000米²，池塘前方要留4米寬的走道，其余各方為2米寬的走道，問每個池塘的長寬各為多少米時占地總面積最少？(14’)

解：設池塘的長為x米時占地總面積為S   （1分）

        故池塘的寬為米    （1分）

            （3分）

        故     （2分）

           （2分）

               （1分）

            （3分）

   答：每個池塘的長為米，寬為米時占地總面積最小。（1分）

2、上海市嘉定一中2007學年第一學期高三年級測試（二）

經(jīng)觀測，某公路段在某時段內(nèi)的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千/小時）之間有函數(shù)關系：

   （1）在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度v為多少時車流量y最大？最大車流量為多少？（精確到0.01千輛）；

   （2）為保證在該時段內(nèi)車流量至少為10千輛/小時，則汽車的平均速度應控制在什么范圍內(nèi)？（1）  

解v=40時取“=”

千輛，

等式成立；

   （2）

3. 國際上鉆石的重量計量單位為克拉．已知某種鉆石的價值υ(美元)與其重量ω (克拉)的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元．

(I)寫出υ關于ω的函數(shù)關系式；

    (Ⅱ)若把一顆鉆石切割成重量比為1∶3的兩顆鉆石，求價值損失的百分率；

    (Ⅲ)把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為m克拉和n克拉，試用你所學的數(shù)學知識證明：當m=n時，價值損失的百分率最大．

(注：價值損失的百分率=×100％；在切割過程中的重量損耗忽略不計)(本小題主要考查函數(shù)與不等式等基礎知識；考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力)

 解：(Ⅰ)依題意設v=kω²，……………………………………………………(2分)

           又當ω=3時，v=54000，∴k=6000，…………………………………(3分)

           故v =6000ω²．………………………………………………………(4分)

     (Ⅱ)設這顆鉆石的重量為a克拉，

         由(Ⅰ)可知，按重量比為l∶3切割后的價值為

         6000(a)²+6000(a)²．…………………………………………… (6分)

         價值損失為

         6000a²一[6000(a)²+6000(a)²]．…………………………………(7分)

         價值損失的百分率為

         答：價值損失的百分率為37.5％．……………………………………(8分)

(Ⅲ)證明：價值損失的百分率應為

，

    　　等號當且僅當m=n時成立.

  　　　即把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，當兩顆鉆石的重量相等時，價值損失的百分率達到最大………………(12分)

4. 甲、乙兩公司同時開發(fā)同一種新產(chǎn)品，經(jīng)測算，對于函數(shù)f（x）、g（x），當甲公司投入x萬元作宣傳時，若乙公司投入的宣傳費小于f（x）萬元，則乙公司對這一新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風險，否則沒有失敗的風險；當乙公司投入x萬元作宣傳時，若甲公司投入的宣傳費小于g（x）萬元，則甲公司對這一新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風險，否則沒有失敗的風險。

   （Ⅰ）試解釋的實際意義；

   （Ⅱ）設，甲、乙公司為了避免惡性競爭，經(jīng)過協(xié)商，同意在雙方均無失敗風險的情況下盡可能少地投入宣傳費用，問甲、乙兩公司各應投入多少宣傳費？

解：（I）f（0）=10表示當甲公司不投入宣傳費時，乙公司要避免新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗風險，至少要投入10萬元宣傳費；g（0）=20表示當乙公司不投入宣傳費時，甲公司要避免新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風險，至少要投入20萬元宣傳費�！�………………………4分

   （Ⅱ）設甲公司投入宣傳費x萬元，乙公司投入宣傳費y萬元，依題意，當且僅當

    成立，雙方均無失敗的風險……………………8分

由（1）（2）得

……………………14分

答：要使雙方均無失敗風險，甲公司至少要投入24萬元，乙公司至少要投入16萬元。

5. 某租賃公司擁有汽車100輛. 當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出. 當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛. 租出的車每輛每月需要維護費200元.

   （Ⅰ）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？

   （Ⅱ）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少元？

解：（Ⅰ）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為，

所以這時租出了88輛車.

（Ⅱ）設每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為

，

整理得.

所以，當x=4100時，最大，最大值為，

即當每輛車的月租金定為4100元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為304200元.

6. 上海某玩具廠生產(chǎn)套2008年奧運會吉祥物“福娃”所需成本費用為元，且，而每套售出的價格為元，其中 ，

   （1）問：該玩具廠生產(chǎn)多少套“福娃”時，使得每套“福娃”所需成本費用最少？

   （2）若生產(chǎn)出的“福娃”能全部售出，且當產(chǎn)量為150套時利潤最大，此時每套價格為30元，求的值．（利潤 = 銷售收入 ― 成本）

  [解]（1）每套“福娃”所需成本費用為

     _{…………………………3分}

                    _{…………………………4分}

當，  即x=100時，每套“福娃”所需成本費用最少為25元. ……6分

（2）利潤為

        =（    _{…………………---9分}

_{由題意，        ……………………12分}

_{解得      a= 25，   b= 30.      ……………………14分}

7. 已知關于x的不等式的解是4<x<36，求a，b。

解： 設，

則原不等式變?yōu)椋?sub>，其解的范圍是2< t <6。  ……6分

    由  2+6＝     

        2×6＝     n                                      ……8分

    解得                     

8. 已知拋物線與直線相切于點．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

解：（Ⅰ）依題意，有

，．

因此，的解析式為；

（Ⅱ）由（）得（），解之得

（）

由此可得

且，

所以實數(shù)的取值范圍是．

9. 某種商品原來定價每件p元，每月將賣出n件，假若定價上漲x成(這里x成即，0＜x≤10.每月賣出數(shù)量將減少y成，而售貨金額變成原來的 z倍.

(1)設y=ax，其中a是滿足≤a＜1的常數(shù)，用a來表示當售貨金額最大時的x的值；

(2)若y=x，求使售貨金額比原來有所增加的x的取值范圍.

答案：(1)由題意知某商品定價上漲x成時，上漲后的定價、每月賣出數(shù)量、每月售貨金額分別是：p(1+)元、n(1－)元、npz元，因而

，在y=ax的條件下，z=［－a

［x－］²+100+］.由于≤a＜1，則0＜≤10.

要使售貨金額最大，即使z值最大，此時x=.

(2)由z= (10+x)(10－x)＞1，解得0＜x＜5.

10. ．已知關于x的不等式 的解集分別為A和B，且，求實數(shù)a的取值范圍.

   解：∵∴

  ①…………5分

又∵

∴②……10分

由①②知，即a的取值集合M=[2，3].……………………12分

11. 為迎接2008年的奧運會，某廠家擬在2008年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用m萬元（）（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件。已知2008年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．

  （1）該廠家2008年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

（2）若由于資金的限制，每年的產(chǎn)品成本投入不得超過48萬元，促銷費不得超過2.2萬元，試設計一種方案，使該廠家2008年的利潤最大，并求出最大利潤。

解：（1）    （4分）

（2）由解得        （7分）

所以第10個月更換刀具.            

（3）第n個月產(chǎn)生的利潤是：   

n個月的總利潤：

n個月的平均利潤：    

由  且

在第7個月更換刀具，可使這7個月的平均利潤f(7)最大（13.21萬元）此時刀具厚度為y=-0.25n+27.25=25.5（mm）

12. 設表示冪函數(shù)在上是增函數(shù)的的集合；表示不等式  對任意恒成立的的集合。（1）求；（2）試寫出一個解集為的不等式。

（文）設表示冪函數(shù)在上是增函數(shù)的的集合；表示不等式對任意恒成立的的集合。（1）求；（2）試寫出一個解集為的不等式。

解：（理）（1）∵冪函數(shù)在上是增函數(shù)，∴，

   即，又不等式對任意恒成立，∴，即，

            ∴ 。

        （2）一個解集為的不等式可以是  。

   （文）（1）∵冪函數(shù)在上是增函數(shù)，∴，即，

又不等式對任意恒成立，∴，即，

             ∴ 。

        （2）一個解集為的不等式可以是  。

13. （理）已知為正常數(shù)。

   （1）可以證明：定理“若、，則（當且僅當時取等號）”推廣到三個正數(shù)時結(jié)論是正確的，試寫出推廣后的結(jié)論（無需證明）；

   （2）若在上恒成立，且函數(shù)的最大值大于，求實數(shù)的取值范圍，并由此猜測的單調(diào)性（無需證明）；

   （3）對滿足（2）的條件的一個常數(shù)，設時，取得最大值。試構造一個定義在上的函數(shù)，使當時，，當時，取得最大值的自變量的值構成以為首項的等差數(shù)列。

解：（1）若、、，則（當且僅當時取等號）。

   （2）在上恒成立，即在上恒成立，

∵，∴，即，

又∵

∴，即時，

，

又∵，∴。          綜上，得 。

  易知，是奇函數(shù)，∵時，函數(shù)有最大值，∴時，函數(shù)有最小值。

故猜測：時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增。

（3）依題意，只需構造以為周期的周期函數(shù)即可。

    如對，，此時，

   即  。

（文）已知函數(shù)，，

（Ⅰ）當時，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（Ⅱ）求滿足下列條件的所有實數(shù)對：當是整數(shù)時，存在，使得是的最大值，是的最小值；

（Ⅲ）對滿足（Ⅱ）的條件的一個實數(shù)對，試構造一個定義在，且上的函數(shù)，使當時，，當時，取得最大值的自變量的值構成以為首項的等差數(shù)列。

解：（Ⅰ）當時，，

若，，則在上單調(diào)遞減，不符題意。

故，要使在上單調(diào)遞增，必須滿足 ，∴ 。

（Ⅱ）若，，則無最大值，故，∴為二次函數(shù)，

要使有最大值，必須滿足，即且，

此時，時，有最大值。

又取最小值時，，依題意，有，則，

∵且，∴，得，此時或。

∴滿足條件的實數(shù)對是。

（Ⅲ）當實數(shù)對是時，

依題意，只需構造以2（或2的正整數(shù)倍）為周期的周期函數(shù)即可。

如對，，

此時，，

故。

    已知，，求證，

    證明：構造函數(shù)

    因為對一切xÎR，恒有≥0，所以≤0,

    從而得，

   （1）若，，請寫出上述結(jié)論的推廣式；

   （2）參考上述解法，對你推廣的結(jié)論加以證明。

解：（1）若，，

求證： (4¢)

（2）證明：構造函數(shù)  (6¢)

  (11¢)

              因為對一切xÎR，都有≥0，所以△=≤0,

               從而證得：.  (14¢)

15. ⑴證明：當a＞1時，不等式成立。

⑵要使上述不等式成立，能否將條件“a＞1”適當放寬？若能，請放寬條件并簡述理由；若不能，也請說明理由。

    ⑶請你根據(jù)⑴、⑵的證明，試寫出一個類似的更為一般的結(jié)論，且給予證明。

解：（1）證：,∵a＞1，∴＞0，

           ∴原不等式成立 (6¢)

   （2）∵a-1與a⁵-1同號對任何a＞0且a¹1恒成立，∴上述不等式的條件可放寬

        為a＞0且a¹1 (9¢)

   （3）根據(jù)（1）（2）的證明，可推知：若a＞0且a¹1，m＞n＞0，則有(12¢)

       證：左式-右式=

       若a＞1，則由m＞n＞0Þa^m-n＞0,a^m+n＞0Þ不等式成立；

       若0＜a＜1，則由m＞n＞0Þ0＜a^m-n＜1, 0＜a^m+n＜1Þ不等式成立.(16¢)

16. 某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2002年度進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷ｔ萬元之間滿足3－x與ｔ＋1成反比例，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2002年生產(chǎn)化妝品的設備折舊，維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件化妝品的售價定為：其生產(chǎn)成本的150%“與平均每件促銷費的一半””之和，則當年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完。

（1）將2002年的利潤y(萬元)表示為促銷費ｔ(萬元)的函數(shù)；

（2）該企業(yè)2002年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大?

(注：利潤＝銷售收入―生產(chǎn)成本―促銷費，生產(chǎn)成本＝固定費用＋生產(chǎn)費用)

解：（1）由題意：  將

當年生產(chǎn)x(萬件)時，年生產(chǎn)成本＝年生產(chǎn)費用＋固定費用＝32x＋3＝32（3－）＋3；當銷售x（萬件）時，年銷售收入＝150%［32（3－＋3］＋

由題意，生產(chǎn)x萬件化妝品正好銷完

∴年利潤＝年銷售收入－年生產(chǎn)成本－促銷費

即（t≥0）

（2）∵≤50－＝42萬件

當且僅當即t＝7時，y_max＝42

∴當促銷費定在7萬元時，利潤增大.

17. (1)證明下列命題：

已知函數(shù)及實數(shù)，若，則對于一切實數(shù)都有。

(2)利用(1)的結(jié)論解決下列各問題：

①若對于，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍。

②。

解：（1）根據(jù)直線的單調(diào)性證明（略）；

（2）①將不等式“轉(zhuǎn)化”為關于x的一次函數(shù)

只要同時滿足即可。解得：

②將證明不等式的問題 “轉(zhuǎn)化”為關于a（或b、c）的一次函數(shù)，這就需要“造”一個一次函數(shù)如下：

令；

即

由，可得結(jié)論。

18. 已知二次函數(shù)（）．

（1）當０＜＜時，（）的最大值為，求的最小值；

（2）對于任意的，總有||．試求的取值范圍；

（3）若當時，記，令，求證：成立．

解：⑴由知故當時取得最大值為，

即，

所以的最小值為；              

⑵對于任意的，總有||，

令，則命題轉(zhuǎn)化為，

不等式恒成立，

當時，使成立；