2.(海南卷11)已知點P在拋物線y2 = 4x上,那么點P到點Q(2,-1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點P的坐標(biāo)為
(1)會利用方程組解的狀況確定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系;
(2)會求直線被圓錐曲線所截的弦長,弦的中點坐標(biāo):
如:設(shè)拋物線經(jīng)過兩點和
,對稱軸與
軸平行,開口向右,直線
被拋物線截得的線段長是
,求拋物線方程。
(3)當(dāng)直線與圓錐曲線相交時,求在某些給定條件下地直線線方程;解此類問題,一般是根據(jù)條件求解,但要注意條件的應(yīng)用。
如:已知拋物線方程為在
軸上截距為2的直線
與拋物線交于
兩點,且以
為徑的圓過原點,求直線
的方程。
課本題P26練習(xí)1(3)(4)3;習(xí)題2(3)(4)3,4;P30練習(xí)2(3)(4)4;
P31習(xí)題5,7,10;P34練習(xí)5,6,7;P38練習(xí)2,3;P39 習(xí)題5,6,7;P42
練習(xí)4,5;P44 習(xí)題5,6,7;P47 習(xí)題8,9,11,12,13,16,17,18,19,21;
高考題
1.(福建卷11)又曲線(a>0,b>0)的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點,且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為
(1)直接法: 已知底邊
的長為8,兩底角之和為
,求頂點且的軌跡方程。
(2)定義法:已知圓,定點
,若
是圓上的動點,
的垂直平分線交
于
,求
的軌跡方程。
(3)幾何法:是
的直徑,且
,
為圓上一動點,作
,垂足為
,在
上取點
,使
,求點
的軌跡。
(4)相關(guān)點法(代人法) 在雙曲線的兩條漸近線上分別取點
和
,使
(其中
為坐標(biāo)原點,
為雙曲線的半焦距),求
中點的軌跡。
(5)整體法(設(shè)而不求法):以為圓心的圓與橢圓
交于
兩點,求
中點
的軌跡方程。
若平面內(nèi)一個動點到一個定點
和一條定直線
的距離之比等于一個常數(shù)
則動點的軌跡為圓錐曲線。其中定點
為焦點,定直線
為準(zhǔn)線,
為離心率。當(dāng)
時,軌跡為橢圓;當(dāng)
時,軌跡為拋物線;當(dāng)
時,軌跡為雙曲線。
(1)拋物線的定義:平面內(nèi)與一個定點的距離等于到一條定直線的距離點的軌跡。
其中:定點為拋物線的焦點,定直線叫做準(zhǔn)線。
(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì):
|
焦點在![]() 開口向右 |
焦點在![]() 開口向左 |
焦點在![]() 開口向上 |
焦點在![]() 開口向下 |
標(biāo)準(zhǔn)方程 |
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圖 形 |
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頂 點 |
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|||
對稱軸 |
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||
焦 點 |
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離心率 |
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|||
準(zhǔn) 線 |
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通 徑 |
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|||
焦半徑 |
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![]() |
||
焦點弦 |
![]() ![]() ![]() |
|||
焦準(zhǔn)距 |
![]() |
(1)雙曲線的定義:平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于
)的點的軌跡。
第二定義:平面內(nèi)與一個定點的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡。
其中:兩個定點叫做雙曲線的焦點,焦點間的距離叫做焦距;定直線叫做準(zhǔn)線。
常數(shù)叫做離心率。
注意:與
(
)表示雙曲線的一支。
表示兩條射線;
沒有軌跡;
(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì):
|
中心在原點,焦點在![]() |
中心在原點,焦點在![]() |
||
標(biāo)準(zhǔn)方程 |
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圖 形 |
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頂 點 |
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對稱軸 |
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焦 點 |
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焦 距 |
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離心率 |
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準(zhǔn) 線 |
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漸近線 |
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通 徑 |
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|||
焦半徑 |
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![]() ![]() ![]() ![]() |
||
焦準(zhǔn)距 |
![]() |
(3)雙曲線的漸近線:
①求雙曲線的漸近線,可令其右邊的1為0,即得
,因式分解得到。
②與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是
;
(4)等軸雙曲線為,其離心率為
(1)橢圓的定義:平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于常數(shù)(大于
)的點的軌跡。
第二定義:平面內(nèi)與一個定點的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡。
其中:兩個定點叫做橢圓的焦點,焦點間的距離叫做焦距;定直線叫做準(zhǔn)線。
常數(shù)叫做離心率。
注意:表示橢圓;
表示線段
;
沒有軌跡;
(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì):
|
中心在原點,焦點在![]() |
中心在原點,焦點在![]() |
||
標(biāo)準(zhǔn)方程 |
![]() |
![]() |
||
參數(shù)方程 |
![]() |
![]() |
||
圖 形 |
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頂 點 |
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![]() |
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對稱軸 |
![]() ![]() ![]() ![]() |
|||
焦 點 |
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![]() |
||
焦 距 |
![]() ![]() |
|||
離心率 |
![]() |
|||
準(zhǔn) 線 |
![]() |
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||
通 徑 |
![]() ![]() |
|||
焦半徑 |
![]() |
![]() |
||
焦點弦 |
![]() 僅與它的中點的橫坐標(biāo)有關(guān) |
![]() 僅與它的中點的縱坐標(biāo)有關(guān) |
||
焦準(zhǔn)距 |
![]() |
圓錐曲線部分
2.(江蘇卷18)設(shè)平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)二次函數(shù)
的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點,經(jīng)過這三個交點的圓記為C.求:
(Ⅰ)求實數(shù)b 的取值范圍;
(Ⅱ)求圓C 的方程;
(Ⅲ)問圓C 是否經(jīng)過某定點(其坐標(biāo)與b 無關(guān))?請證明你的結(jié)論.
[解析]本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法.
(Ⅰ)令=0,得拋物線與
軸交點是(0,b);
令,由題意b≠0 且Δ>0,解得b<1 且b≠0.
(Ⅱ)設(shè)所求圓的一般方程為
令=0 得
這與
=0 是同一個方程,故D=2,F(xiàn)=
.
令=0 得
=0,此方程有一個根為b,代入得出E=―b―1.
所以圓C 的方程為.
(Ⅲ)圓C 必過定點(0,1)和(-2,1).
證明如下:將(0,1)代入圓C 的方程,得左邊=0+1
+2×0-(b+1)+b=0,右邊=0,
所以圓C 必過定點(0,1).
同理可證圓C 必過定點(-2,1).
18.(廣東卷11)經(jīng)過圓的圓心
,且與直線
垂直的直線
方程是 .
19已知菱形的頂點
在橢圓
上,對角線
所在直線的斜率為1.
(Ⅰ)當(dāng)直線過點
時,求直線
的方程;
(Ⅱ)當(dāng)時,求菱形
面積的最大值.
解:(Ⅰ)由題意得直線的方程為
.
因為四邊形為菱形,所以
.
于是可設(shè)直線的方程為
.
由得
.
因為在橢圓上,
所以,解得
.
設(shè)兩點坐標(biāo)分別為
,
則,
,
,
.
所以.
所以的中點坐標(biāo)為
.
由四邊形為菱形可知,點
在直線
上,
所以,解得
.
所以直線的方程為
,即
.
(Ⅱ)因為四邊形為菱形,且
,
所以.
所以菱形的面積
.
由(Ⅰ)可得,
所以.
所以當(dāng)時,菱形
的面積取得最大值
.
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