3．空間向量的直角坐標運算律：(1)若，，

則，，

，，

　，．

(2)若，，則．

一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標

4模長公式：若， 則．

1空間直角坐標系：(1)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；(2)在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸．我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量 都叫坐標向量．通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；

2．空間直角坐標系中的坐標： 在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標．

5．在△ABC中，已知＝，判定△ABC是什么三角形。

※§8.3空間向量及其運算　 　　

4．在△ABC中，已知B＝30°，b＝50，c＝150，解三角形并判斷三角形的形狀。　　　　　　　　　　 　　　　　　

3．某人在C點測得塔頂A在南偏西80°，仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進10米到0，測得塔頂A仰角為30°，則塔高＝　　　　　。

2.△ABC中，若邊a：b：c＝：(1+)：2，則內(nèi)角A＝　　　　　 。

1．已知銳角三角形的邊長分別為2，3，x，則第三邊x的取值范圍是(　 )

A．1＜x＜5　　B．＜x＜　 C．＜x＜5　 　 D．1＜x＜

2．由于本節(jié)內(nèi)容與代數(shù)、幾何聯(lián)系比較緊，故讀者需對解斜三角形、解析幾何中的圓錐曲線等知識非常熟悉方可。

三　 經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]在ABC中，已知a²＝b²+bc+c²，則角A為(　)

A． 　　B．　C．　　D．或

錯解：選A

錯因：公式記不牢，誤將余弦定理中的“減”記作“加”。

正解：∵a²＝b²+bc+c²＝b²+c²－2bc(－)＝b²+c²－2bc·cos

　∴∠A＝

　選　C.

[例2]在△ABC中，已知，試判別其形狀。

錯解：等腰三角形。

錯因：忽視了兩角互補，正弦值也相等的情形。直接由得，，即，則。接著下結(jié)論，所求三角形為等腰三角形

正解：由得，，即

　　　 則或，故三角形為直角三角形或等腰三角形。

[例3]過拋物線:y²=2px(p>0)頂點O作兩條互相垂直的弦OA、OB(如圖),求證:直線AB過一定點,并求出這一定點.

分析: 對于向量a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂),有a//bx₁y₂-x₂y₁=0.可以用來處理解析幾何中的三點共線與兩直線平行問題.

證明:由題意知可設(shè)A點坐標為(,t₁),B點坐標為(,t₂)　

∴=(,t₁), =(,t₂),

∵OA⊥OB,∴•=0•+t₁•t₂=0

t₁•t₂=-4p² ①

設(shè)直線AB過點M(a,b),則=(a-,b-t₂),=(-,t₁-t₂),

由于向量與是共線向量,∴(a-)(t₁-t₂)= (b-t₂)(-)

化簡得2p(a-2p)=b(t₁+t₂)

　顯然當a=2p,b=0時等式對任意的成立

∴直線AB過定點,且定點坐標為M(2p,0)

四　 典型習題導(dǎo)練

1．初中學過的勾股定理只是余弦定理的一種特殊情況。如當=時，=0，此時有；

2.正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，并且都等于外接圓的直徑，即