Question

我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性質(zhì)，如有關線段比．面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題。

請你利用重心的概念完成如下問題：

        

      

 

（1）如圖1，△ABC的中線AD、CE的交點O為三角形的重心，利用三角形的中位線可以證明：，請你完成該證明；

（2）運用第（1）的結(jié)論解決以下問題：

①小麗說：“過三角形的重心任畫一條直線都能將三角形的面積平分”。小明想了想說：“這個說法是錯誤的。”他過點O畫出了BC的平行線，交AB、AC于點E、F，如圖2，你能求出的值嗎？誰的說法正確？

②△ABC中，∠C＝90°，AB=6cm，求△ABC的重心與外心的距離。

Answer 1

解：（1）連DE，                           ………………………………………1分

由題意，D、E為BC、AB中點，

      ∴DE為△ABC的中位線，

      ∴DE∥AC，DE=AC。

      ∴△ODE∽△OAC，且相似比為1:2，     ………………………………………2分

      ∴AO=2OD,∴ ………………………………………………………………3分

（2）①∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABD，相似比為。

    ∴…………………………………………………………………………4分

        同理，△AEF∽△ABC，相似比為………………………………………………5分

       ∴，∴……………………………………………………6分

       ∴小明說法正確。…………………………………………………………………7分

②Rt△ABC外心為AB的中點，記為點D，………………………………………8分

     則CD=AB=3，…………………………………………………………………9分

     重心O在中線CD上，由(1)

     ∴OD=3×=1.……………………………………………………………………10分