Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以直角頂點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BC于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．若DE=a，則△ABC的周長(zhǎng)用含a的代數(shù)式表示為$（6+2\sqrt{3}）a$．

Answer 1

分析 先根據(jù)∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC可知BC=2AB，CD=2DE，再由AB=AD可知點(diǎn)D是斜邊BC的中點(diǎn)，由此可用a表示出AB的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得出AC的長(zhǎng)，由此可得出結(jié)論．

解答 解：∵∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC，
∴BC=2AB，CD=2DE=2a．
∵AB=AD，
∴點(diǎn)D是斜邊BC的中點(diǎn)，
∴BC=2CD=4a，AB=$\frac{1}{2}$BC=2a，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（4a）^{2}-（2a）^{2}}$=2$\sqrt{3}$a，
∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=2a+4a+2$\sqrt{3}$a=（6+2$\sqrt{3}$）a．
故答案為：（6+2$\sqrt{3}$）a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是含30°的直角三角形，熟知在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解答此題的關(guān)鍵．