Question

如圖，已知△ABC，AC＜AB．

（1）用直尺和圓規(guī)作出一條過點A的直線l，使得點C關(guān)于直線l的對稱點落在邊AB上（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）設(shè)直線l與邊BC的交點為D，且∠C=2∠B，請你通過觀察或測量，猜想線段AB、AC、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【考點】作圖—復(fù)雜作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．

【專題】作圖題．

【分析】（1）先作∠BAC的平分線l，再過點C作CF⊥l交AB于F，則可得到點C和F點關(guān)于l對稱，所以l為所作；

（2）連結(jié)DF，如圖，利用等腰三角形的判定方法得到AF=AC，則AD垂直平分CF，所以DF=DC，則∠DCF=∠DFC，再利用三角形外角性質(zhì)得∠BDF=2∠DCF，接著證明∠B=2∠BCF，于是得到∠B=∠BDF，則FB=FD=CD，則易得AB=AF+FB=AC+CD．

【解答】解：（1）如圖，直線l為所作；

（2）AB=AC+CD．理由如下：

連結(jié)DF，如圖，

∵AD平分∠BAC，AD⊥CF，

∴AF=AC，

∴AD垂直平分CF，

∴DF=DC，

∴∠DCF=∠DFC，

∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，

∵∠AFC=∠ACF，

∵∠AFC=∠B+∠BCF，

∴∠ACF=∠B+∠BCF，

∵∠ACB=2∠B，

∴2∠B﹣∠BCF=∠B+∠BCF，

∴∠B=2∠BCF，

∴∠B=∠BDF，

∴FB=FD，

∴FB=CD，

∴AB=AF+FB=AC+CD．

【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了角平分線的性質(zhì)．