Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝m（m為常數(shù)），點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)D為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作⊙O的切線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，弦CD交AB于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)DC⊥AB時(shí)，則＝　 　；

（2）①當(dāng)點(diǎn)D在上移動(dòng)時(shí)，試探究線段DA，DB，DC之間的數(shù)量關(guān)系；并說(shuō)明理由；

②設(shè)CD長(zhǎng)為t，求△ADB的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①DA+DB＝DC，②S＝t2﹣m2 ；（3）.

【解析】

（1）首先證明當(dāng)DC⊥AB時(shí)，DC也為圓的直徑，且△ADB為等腰直角三角形，即可求出結(jié)果；

（2）①分別過(guò)點(diǎn)A，B作CD的垂線，連接AC，BC，分別構(gòu)造△ADM和△BDN兩個(gè)等腰直角三形及△NBC和△MCA兩個(gè)全等的三角形，容易證出線段DA，DB，DC之間的數(shù)量關(guān)系；

②通過(guò)完全平方公式（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DADB的變形及將已知條件AB＝m代入即可求出結(jié)果；

（3）通過(guò)設(shè)特殊值法，設(shè)出PD的長(zhǎng)度，再通過(guò)相似及面積法求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，即可求出結(jié)果．

解：（1）如圖1，∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵C為的中點(diǎn)，

∴，

∴∠ADC＝∠BDC＝45°，

∵DC⊥AB，

∴∠DEA＝∠DEB＝90°，

∴∠DAE＝∠DBE＝45°，

∴AE＝BE，

∴點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，

∴DC為⊙O的直徑，

∴DC＝AB，

在等腰直角三角形DAB中，

DA＝DB＝AB，

∴DA+DB＝AB＝CD，

∴＝；

（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DC于M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，連接AC，BC，

由（1）知，

∴AC＝BC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，

∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°，

∴∠NBC＝∠MCA，

在△NBC和△MCA中，

，

∴△NBC≌△MCA（AAS），

∴CN＝AM，

由（1）知∠DAE＝∠DBE＝45°，

AM＝DA，DN＝DB，

∴DC＝DN+NC＝DB+DA＝（DB+DA），

即DA+DB＝DC；

②在Rt△DAB中，

DA2+DB2＝AB2＝m2，

∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DADB，

且由①知DA+DB＝DC＝t，

∴（t）2＝m2+2DADB，

∴DADB＝t2﹣m2，

∴S△ADB＝DADB＝t2﹣m2，

∴△ADB的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式S＝t2﹣m2；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，

則NE＝ME，四邊形DHEG為正方形，

由（1）知，

∴AC＝BC，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∴AB＝AC，

∵，

設(shè)PD＝9，則AC＝20，AB＝20，

∵∠DBA＝∠DBA，∠PAB＝∠ADB，

∴△ABD∽△PBA，

∴，

∴，

∴DB＝16，

∴AD＝＝12，

設(shè)NE＝ME＝x，

∵S△ABD＝ADBD＝ADNE+BDME，

∴×12×16＝×12x+×16x，

∴x＝，

∴DE＝HE＝x＝，

又∵AO＝AB＝10，

∴．