Question

10．如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點(diǎn)M，BE⊥CD于點(diǎn)E．
（1）求證：∠BME=∠MAB；
（2）求證：BM²=BE•AB；
（3）若BE=$\frac{18}{5}$，sin∠BAM=$\frac{3}{5}$，求線段AM的長．

Answer 1

分析 （1）由切線的性質(zhì)得出∠BME+∠OMB=90°，再由直徑得出∠AMB=90°，利用同角的余角相等判斷出結(jié)論；
（2）由（1）得出的結(jié)論和直角，判斷出△BME∽△BAM，即可得出結(jié)論，
（3）先在Rt△BEM中，用三角函數(shù)求出BM，再在Rt△ABM中，用三角函數(shù)和勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖，連接OM，
∵直線CD切⊙O于點(diǎn)M，
∴∠OMD=90°，
∴∠BME+∠OMB=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AMB=90°．
∴∠AMO+∠OMB=90°，
∴∠BME=∠AMO，
∵OA=OM，
∴∠MAB=∠AMO，
∴∠BME=∠MAB；
（2）由（1）有，∠BME=∠MAB，
∵BE⊥CD，
∴∠BEM=∠AMB=90°，
∴△BME∽△BAM，
∴$\frac{BM}{AB}=\frac{BE}{BM}$，
∴BM²=BE•AB；
（3）由（1）有，∠BME=∠MAB，
∵sin∠BAM=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠BME=$\frac{3}{5}$，
在Rt△BEM中，BE=$\frac{18}{5}$，
∴sin∠BME=$\frac{BE}{BM}$=$\frac{3}{5}$，
∴BM=6，
在Rt△ABM中，sin∠BAM=$\frac{3}{5}$，
∴sin∠BAM=$\frac{BM}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AB=$\frac{5}{3}$BM=10，
根據(jù)勾股定理得，AM=8．

點(diǎn)評 此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直徑，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是判斷出，△BME∽△BAM．