如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE=∠B。

（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的長。

如圖所示，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是以 點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上. 

（1）畫出位似中心點O； 
（2）直接寫出△ABC與△A’B’C’的位似比            ； 
（3）以位似中心O為坐標原點，以格線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，畫出△A′B′C′關(guān)于點 O中心對稱的△A"B"C"，如果△ABC內(nèi)部一點M的坐標為（x，y），寫出△A"B"C"中M的對應(yīng)點M"的坐標             。

已知矩形紙片ABCD中，AB＝2，BC＝3．
操作：將矩形紙片沿EF折疊，使點B落在邊CD上．
探究：

（1）如圖1，若點B與點D重合，你認為△EDA₁和△FDC全等嗎？如果全等，請給出證明，如果不全等，請說明理由；
（2）如圖2，若點B與CD的中點重合，請你判斷△FCB₁、△B₁DG和△EA₁G之間的關(guān)系，如果全等，只需寫出結(jié)果，如果相似，請寫出結(jié)果，求出相應(yīng)的相似比；
（3）如圖2，請你探索，當點B落在CD邊上何處，即B₁C的長度為多少時，△FCB₁與△B₁DG全等．

如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．

（1）由題設(shè)條件，請寫出三個正確結(jié)論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明）
答：結(jié)論一：        ；結(jié)論二：         ；結(jié)論三：          ．
（2）若∠B=45°，BC=2，當點D在BC上運動時（點D不與B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此時BD的長．（注意：在第（2）的求解過程中，若有運用（1）中得出的結(jié)論，須加以證明）

利用位似圖形的方法把四邊形ABCD縮小為原來的．
 

已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．
（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證；

（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時，使得成立？并證明你的結(jié)論；

（3）如圖③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，請直接寫出的值．

如圖，矩形ABCD中， AB=4，BC=2，點P是射線DA上的一動點，DE⊥CP，垂足為E，EF⊥BE與射線DC交于點F．

（1）若點P在邊DA上（與點D、點A不重合）．
①求證：△DEF∽△CEB；
②設(shè)AP=x，DF=y，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；
（2）當△EFC與△BEC面積之比為3︰16時，線段AP的長為多少?（直接寫出答案，不必說明理由）．

如圖1，已知Rt△ABC中，，AC＝8cm，BC＝6cm．點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s．以AQ、PQ為邊作平行四邊形AQPD，連接DQ，交AB于點E.設(shè)運動的時間為t（單位：s）（0≤t≤4）．解答下列問題：

（1）用含有t的代數(shù)式表示AE=_____________；
（2）當t為何值時，DQ=AP；
（3）如圖2，當t為何值時，平行四邊形AQPD為菱形；
（4）直接寫出：當DQ的長最小時，t的值.

已知：把和按如圖（1）擺放（點與點重合），點、（）、在同一條直線上．，，，，．如圖（2），從圖（1）的位置出發(fā)，以的速度沿向勻速移動，在移動的同時，點從的頂點出發(fā)，以2 cm/s的速度沿向點勻速移動.當的頂點移動到邊上時，停止移動，點也隨之停止移動．與相交于點，連接，設(shè)移動時間為．

（1）當為何值時，點在線段的垂直平分線上？
（2）連接，設(shè)四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時刻，使面積最��？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由．
（3）是否存在某一時刻，使、、三點在同一條直線上？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由．（圖（3）供同學們做題使用）

（1）如圖①，P為△ABC的邊AB上一點（P不與點A、點B重合），連接PC，如果△CBP∽△ABC，那么就稱P為△ABC的邊AB上的相似點．
畫法初探
①如圖②，在△ABC中，∠ACB＞90°，畫出△ABC的邊AB上的相似點P（畫圖工具不限，保留畫圖痕跡或有必要的說明）；

辯證思考
②是不是所有的三角形都存在它的邊上的相似點？如果是，請說明理由；如果不是，請找出一個不存在邊上相似點的三角形；
特例分析
③已知P為△ABC的邊AB上的相似點，連接PC，若△ACP∽△ABC，則△ABC的形狀是   ；
④如圖③，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，P是邊AB上的相似點，求的值．
（2）在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b（a≥b）．P是AB上的點（P不與點A、點B重合），作PQ⊥CD，垂足為Q．如果矩形ADQP∽矩形ABCD，那么就稱PQ為矩形ABCD的邊AB、CD上的相似線．

①類比（1）中的“畫法初探”，可以提出問題：對于如圖④的矩形ABCD，在不限制畫圖工具的前提下，如何畫出它的邊AB、CD上的相似線PQ呢？
你的解答是：   （只需描述PQ的畫法，不需在圖上畫出PQ）．
②請繼續(xù)類比（1）中的“辯證思考”、“特例分析”兩個欄目對矩形的相似線進行研究，要求每個欄目提出一個問題并解決．