Question

（本小題滿分13分）如圖，已知圓E:，點，P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．

（Ⅰ）求動點Q的軌跡的方程；

（Ⅱ）設直線與（Ⅰ）中軌跡相交于兩點,直線的斜率分別為（其中

）．△的面積為, 以為直徑的圓的面積分別為．若恰好構成等比數列, 求

的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析: （Ⅰ）由橢圓的定義結合題意分析可知動點Q的軌跡是以E，F為焦點，長軸長為4的橢圓，即可列出其軌跡方程；（Ⅱ）設直線的方程為，，,

聯立直線方程和橢圓方程，整理得到關于的方程，根據韋達定理求出，借助于構成等比數列，即，解出，由弦長公式和點到直線距離公式分別確定和，進而求出，由圓的面積公式求出為定值，由不等式的性質，（當且僅當時等號成立）即可求出．

試題解析：

（Ⅰ）連結QF，根據題意，|QP|＝|QF|，則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，故動點Q的軌跡是以E，F為焦點，長軸長為4的橢圓． 2分

設其方程為，

可知，，則， 3分

所以點Q的軌跡的方程為． 4分

（Ⅱ）設直線的方程為，，

由可得，

由韋達定理有： 且 6分

∵構成等比數列，=，即：

由韋達定理代入化簡得：．∵ ，． 8分

此時，即．

又由三點不共線得，從而．

故

10分

∵

則

為定值． 12分

∴

∴當且僅當時等號成立．

綜上：的取值范圍是． 13分

考點：1、橢圓的定義；2、弦長公式；3、最值問題．