Question

（本小題滿分13分）如圖，已知圓E:，點(diǎn)，P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與（Ⅰ）中軌跡相交于兩點(diǎn),直線的斜率分別為（其中

）．△的面積為, 以為直徑的圓的面積分別為．若恰好構(gòu)成等比數(shù)列, 求

的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析: （Ⅰ）由橢圓的定義結(jié)合題意分析可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即可列出其軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，,

聯(lián)立直線方程和橢圓方程，整理得到關(guān)于的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出，借助于構(gòu)成等比數(shù)列，即，解出，由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式分別確定和，進(jìn)而求出，由圓的面積公式求出為定值，由不等式的性質(zhì)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）即可求出．

試題解析：

（Ⅰ）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|＝|QF|，則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓． 2分

設(shè)其方程為，

可知，，則， 3分

所以點(diǎn)Q的軌跡的方程為． 4分

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，

由可得，

由韋達(dá)定理有： 且 6分

∵構(gòu)成等比數(shù)列，=，即：

由韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得：．∵ ，． 8分

此時(shí)，即．

又由三點(diǎn)不共線得，從而．

故

10分

∵

則

為定值． 12分

∴

∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

綜上：的取值范圍是． 13分

考點(diǎn)：1、橢圓的定義；2、弦長(zhǎng)公式；3、最值問(wèn)題．