Question

 數(shù)列{a_n}滿足S_n＝2n－a_n(n∈N^*)．

(1)計算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項公式a_n；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想．

Answer 1

解　(1)當(dāng)n＝1時，a₁＝S₁＝2－a₁，∴a₁＝1.

當(dāng)n＝2時，a₁＋a₂＝S₂＝2×2－a₂，∴a₂＝.

當(dāng)n＝3時，a₁＋a₂＋a₃＝S₃＝2×3－a₃，

∴a₃＝.

當(dāng)n＝4時，a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝S₄＝2×4－a₄，

∴a₄＝.

由此猜想a_n＝(n∈N^*)．

(2)證明：①當(dāng)n＝1時，a₁＝1，結(jié)論成立．

②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N^*)時，結(jié)論成立，即a_k＝，

那么n＝k＋1(k≥1且k∈N^*)時，

a_k＋1＝S_k＋1－S_k＝2(k＋1)－a_k＋1－2k＋a_k

＝2＋a_k－a_k＋1.

∴2a_k＋1＝2＋a_k＝2＋＝.

∴a_k＋1＝，

由①②可知，對n∈N^*，a_n＝都成立．