已知函數(shù)(
為自然對數(shù)的底數(shù),
為常數(shù)).對于函數(shù)
,若存在常數(shù)
,對于任意
,不等式
都成立,則稱直線
是函數(shù)
的分界線.
(I)若,求
的極值;
(II)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(III)設(shè),試探究函數(shù)
與函數(shù)
是否存在“分界線”?若存在,求出分界線方程;若不存在,試說明理由.
解:(I)若,則
,
,
由得
,又
得
;
得
,
在
單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減;
在
處取得極大值
,無極小值.
(II),
①當時,由
得
由得
函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù),在區(qū)間
上是減函數(shù):
②當時,
對
恒成立,此時函數(shù)
是區(qū)間
上的增函數(shù);
③當時,由
得
由得
函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù),在區(qū)間
上是減函數(shù).
(III)若存在,則恒成立,
令,則
,所以
,
因此:對
恒成立,即
對
恒成立,
由得到
, 現(xiàn)在只要判斷
是否恒成立,
設(shè),則
,
①當時,
②當時,
所以,即
恒成立,
所以函數(shù)與函數(shù)
存在“分界線”,且方程為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
給出定義:若 (其中
為整數(shù)),則
叫做離實數(shù)
最近的整數(shù),記作
,即
. 在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)
的四個判斷:
①的定義域是
,值域是
;
②點是
的圖象的對稱中心,其中
;
③函數(shù)的最小正周期為
;
④函數(shù)在
上是增函數(shù).
則上述判斷中正確的序號是 .(填上所有正確的序號)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了8次測試,測得他們的最大速度(單位:m/s)的數(shù)據(jù)如下表:
甲 | 27 | 38 | 30 | 37 | 35 | 31 | 24 | 50 |
乙 | 33 | 29 | 38 | 34 | 28 | 36 | 43 | 45 |
(1)畫出莖葉圖,由莖葉圖你能獲得哪些信息?
(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(單位:m/s)的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、標準差,并判斷選誰參加比賽更合適(可用計算器).
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