Question

已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．對于函數(shù)，若存在常數(shù)，對于任意，不等式都成立，則稱直線是函數(shù)的分界線．

（I）若，求的極值；

（II）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（III）設(shè)，試探究函數(shù)與函數(shù)是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（I）若，則，，

由得,又得； 得，

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

在處取得極大值,無極小值．    

（II），

①當時，由得

由得

函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)：

②當時，對恒成立，此時函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；

③當時，由得

由得

函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)．  

（III）若存在，則恒成立，

令，則，所以，  

因此：對恒成立，即對恒成立，

由得到，  現(xiàn)在只要判斷是否恒成立，                       

設(shè)，則，

①當時，

②當時，  

所以，即恒成立，

所以函數(shù)與函數(shù)存在“分界線”，且方程為