Question

5．若邊長為6的等邊三角形ABC，M是其外接圓上任一點，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AM}$的最大值為18+12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出外接圓圓心，建立平面直角坐標系，將$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AM}$表示成θ的三角函數(shù)，求出最．大值

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，∴三角形的外接圓半徑為2$\sqrt{3}$，
以外接圓圓心O為原點建立平面直角坐標系，設A（2$\sqrt{3}$，0），B（-$\sqrt{3}$，3）．
設M（2$\sqrt{3}$cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），
則$\overrightarrow{AB}=（-3\sqrt{3}，3）$，$\overrightarrow{AM}=（2\sqrt{3}cosθ-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}sinθ）$．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AM}$=-18cosθ+6$\sqrt{3}$sinθ+18=12$\sqrt{3}$sin（θ-$\frac{π}{3}$）+18．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AM}$的最大值是18+12$\sqrt{3}$．
故答案為18+12$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，平面向量的數(shù)量積運算，數(shù)形結合的解題思想，屬于中檔題．