Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x²+ax+a+1）為R上偶函數(shù)，g（x）=（

1

2

）^x-m．
（1）若對任意x₂∈[-2，-1]，都存在x₁∈[0，

3

]，使得f（x₁）=g（x₂），求實數(shù)m的范圍；
（2）若對任意x₁∈[0，

3

]，x₂∈[-2，-1]，使得f（x₁）≥g（x₂），求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由f（-x）=f（x）求得a的值，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）和g（x）的值域，再根據(jù)g（x）的值域是f（x）的值域的子集，求得m的范圍．
（2）由題意可得，f（x₁）的最小值大于或等于g（x₂）的最大值，即 0≥4-m，由此求得m的范圍．

解答： 解：（1）由f（-x）=f（x）可得 log₂（x²-ax+a+1）=log₂（x²+ax+a+1），
∴x²-ax+a+1=x²+ax+a+1，∴a=0，函數(shù)f（x）=log₂（x²+1）．
∵g（x）=（

1

2

）^x-m，x₂∈[-2，-1]時，g（x₂）∈[2-m，4-m]，
x₁∈[0，

3

]時，f（x₁）∈[0，2]，
結合題意可得[2-m，4-m]⊆[0，2]，∴

2-m≥0 4-m≤2

，求得m=2．
（2）由題意可得，f（x₁）的最小值大于或等于g（x₂）的最大值，即 0≥4-m，求得 m≥4．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和和性質(zhì)的綜合應用，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎題．