Question

已知點(diǎn)M(k，l)，P(m，n)(klmn≠0)是曲線(xiàn)C上的兩點(diǎn)，點(diǎn)M，N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)MP，NP分別交x軸于點(diǎn)E(x_E,0)和點(diǎn)F(x_F,0)．

(1)用k，l，m，n分別表示x_E和x_F;

(2)當(dāng)曲線(xiàn)C的方程分別為：x²＋y²＝R²(R>0)，＋＝1(a>b>0)時(shí)，探究x_E·x_F的值是否與點(diǎn)M，N，P的位置相關(guān)；

(3)類(lèi)比(2)的探究過(guò)程，當(dāng)曲線(xiàn)C的方程為y²＝2px(p>0)時(shí)，探究x_E與x_F經(jīng)加、減、乘、除的某一種運(yùn)算后為定值的一個(gè)正確結(jié)論(只要求寫(xiě)出你的探究結(jié)論，無(wú)須證明)．

Answer 1

解析：(1)依題意N(k，－l)，且klmn≠0及MP，NP與x軸有交點(diǎn)知：

M，P，N為不同點(diǎn)，直線(xiàn)PM的方程為y＝ (x－m)＋n，

直線(xiàn)PN的方程為y＝ (x－m)＋n，

則x_E＝，同理可得x_F＝.

(2)∵M，P在圓C：x²＋y²＝R²上，

∴x_E·x_F＝＝

＝R²(定值)．

∴x_E·x_F的值與點(diǎn)M，N，P位置無(wú)關(guān)．

同理，∵M，P在橢圓C：＋＝1(a>b>0)上，

∴ ∴x_E·x_F＝＝

＝a²(定值)．

∴x_E·x_F的值與點(diǎn)M，N，P位置無(wú)關(guān)．

(3)一個(gè)探究結(jié)論是：x_E＋x_F＝0.

證明如下：依題意，

∵M，P在拋物線(xiàn)C：y²＝2px(p>0)上，

∴n²＝2pm，l²＝2pk.

x_E＋x_F＝＝0.

∴x_E＋x_F為定值．