Question

8．設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的函數(shù)，若存在$\hat x∈（a，b）$，使得f（x）在$[a，\hat x]$上單調(diào)遞增，在$[\hat x，b]$上單調(diào)遞減，則稱(chēng)f（x）為[a，b]上的單峰函數(shù)，$\hat x$稱(chēng)為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間稱(chēng)
為含峰區(qū)間；
（1）判斷下列函數(shù)：①f₁（x）=x-2x²，②f₂（x）=|log₂（x+0.5）|，哪些是“[0，1]上的單峰函數(shù)”？若是，指出峰點(diǎn)，若不是，說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=ax³+x（a＜0）是[1，2]上的單峰函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)f（x）是[a，b]上的單峰函數(shù)，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）≥f（n），求證：（a，n）為f（x）的含峰區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）依次判斷各函數(shù)在（0，1）上是否存在極大值點(diǎn)即可得出結(jié)論；
（2）求出f（x）的極大值點(diǎn)，令極大值點(diǎn)在區(qū)間（1，2）上即可；
（3）利用f（x）的單調(diào)性得出f（x）的峰點(diǎn)在區(qū)間（a，n）上即可．

解答 解：（1）①f₁′（x）=1-4x，令f₁′（x）=0得x=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)0$＜x＜\frac{1}{4}$時(shí)，f₁′（x）＞0，當(dāng)$\frac{1}{4}＜x＜1$時(shí)，f₁′（x）＜0，
∴f₁（x）在[0，$\frac{1}{4}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{1}{4}$，1]上單調(diào)遞減，
∴f₁（x）是[0，1]上的單峰函數(shù)，峰點(diǎn)為$\frac{1}{4}$；
②當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f₂（x）=|log₂（x+0.5）|=$\left\{\begin{array}{l}{-lo{g}_{2}（x+0.5），0≤x＜0.5}\\{lo{g}_{2}（x+0.5），0.5≤x≤1}\end{array}\right.$．
∴f₂（x）在[0，0.5]上單調(diào)遞減，在[0.5，1]上單調(diào)遞增，
∴f₂（x）不是[0，1]上的單峰函數(shù)；
（2）f′（x）=3ax²+1，令f′（x）=0得x=±$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$，
當(dāng)x＜-$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)-$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x＞$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$時(shí)，f′（x）＜0，
∴x=$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$是f（x）的極大值點(diǎn)，
∵函數(shù)f（x）是[1，2]上的單峰函數(shù)，
∴1＜$\sqrt{-\frac{1}{3a}}$＜2，解得：$-\frac{1}{3}＜a＜-\frac{1}{12}$．
（3）證明：∵f（x）是[a，b]上的單峰函數(shù)，
∴存在x₀∈（a，b），使得f（x）在（a，x₀）上單調(diào)遞增，在（x₀，b）上單調(diào)遞減，
假設(shè)n≤x₀，則f（x）在（m，n）上是增函數(shù)，
∴f（m）＜f（n），與f（m）≥f（n）矛盾；
∴假設(shè)錯(cuò)誤，故n＞x₀，
∴f（x）在（a，x₀）上單調(diào)遞增，在（x₀，n）上單調(diào)遞減，
∴（a，n）為f（x）的含峰區(qū)間．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)新定義的理解，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．