分析 (1)Sn=λan-μ.當n≥2時,Sn-1=λan-1-μ,可得\frac{λ}{λ-2}=1+\frac{2}{λ-2}為正整數(shù),即可得出正整數(shù)λ.
(2)由(1)可得:Sn=2an-μ,可得an=μ•2n-1,因此A={μ(2i-1+2j-1)|1≤i<j,i,j∈N*},由于2015∈A,可得2015=μ(2i-1+2j-1)=μ•2i-1(1+2j-i)=5×13×31,利用2i-1為偶數(shù)時,上式不成立,因此必有2i-1=1,可得i=1,即可得出j,μ.
(3)當n≥1時,集合集合{B_n}=\{x|5μ•{3^{n-1}}<x<5μ•{3^n},x∈A\},即即5μ•3n-1<μ(3i-1+3j-1)<5μ•3n,1≤i<j,i,j∈N*Bn中元素的個數(shù),等價于滿足5•3n<3i+3j<5•3n+1的不同解(i,j),只有j=n+2才成立,利用5•3n<31+3n+2<32+3n+2<…<3n+3n+2<3n+1+3n+2=4•3n+1<5•3n+1,即可得出.(n∈N*).
解答 解:(1)當n≥2時,2Sn=λan-μ,2Sn-1=λan-1-μ,兩式相減得:2an=λan-λan-1(λ為質(zhì)數(shù)且大于2),\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{λ}{λ-2},所以{an}為等比數(shù)列,又{an}各項均為正整數(shù),則\frac{λ}{λ-2}=1+\frac{2}{λ-2}為正整數(shù),λ為質(zhì)數(shù),則λ=3
(2)由(1)得:2Sn=3an-μ,當n=1時,a1=μ,則{a_n}=μ•{3^{n-1}}
所以A={μ(3i-1+3j-1)|1≤i<j,i,j∈N*}
如果2010∈A,則2010=μ(3i-1+3j-1)=μ3i-1(1+3j-i)=2×3×5×67
因為j-i>0,則1+3j-i必為不小于4的偶數(shù),則
因1+3j-i=2×3時,無解;因1+3j-i=2×67時,無解;因1+3j-i=2×3×5,無解;
因1+3j-i=2×3×67,無解;因1+3j-i=2×5×67,無解;
因1+3j-i=2×3×5×67=2010,無解;
當1+3j-i=2×5⇒j-i=2,μ•3i-1=201=3×67,
當i-1=1時,μ=67,所以2010=67(32-1+34-1)∈A
當i-1=0時,μ=201,所以2010=201(31-1+33-1)∈A
綜上,μ=67或μ=201
(3)當n≥1時,{B_n}=\{x|5μ•{3^{n-1}}<x<5μ•{3^n},x∈A\}
即5μ•3n-1<μ(3i-1+3j-1)<5μ•3n,1≤i<j,i,j∈N*Bn中元素的個數(shù),等價于滿足5•3n<3i+3j<5•3n+1的不同解(i,j)
如果j>n+2,則3j+3i≥3i+3n+3=3i+9•3n+1>5•3n+1,矛盾.
如果j<n+2,則3j+3i≤3i+3n+1≤3n+3n+1≤4•3n<5•3n,矛盾.
從而,j=n+2
又因為(31+3n+2)-5•3n=3+4•3n>0
所以5•3n<31+3n+2<32+3n+2<…<3n+3n+2<3n+1+3n+2=4•3n+1<5•3n+1
即i=1,2,…,n,n+1,共n+1個不同的解(i,j),即共n+1個不同x∈Bn,所以{b_n}=n+1(n∈{N^*}).
點評 本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項公式、遞推式的應(yīng)用、分類討論思想方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | M={(3,2)},N={(2,3)} | B. | M={2,3},N={3,2} | ||
C. | M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} | D. | M={2,3},N={(2,3)} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-a2b)2•(-ab2)3=-a7b8 | B. | [-(a3)2•(-b2)3]3=a18b18 | ||
C. | (-a3)2•(-b2)3=a6b6 | D. | (-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -2 | B. | 2 | C. | -98 | D. | 98 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | \frac{\sqrt{6}}{2} | C. | 4 | D. | \sqrt{2} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {-\sqrt{2},\sqrt{2},log4 6} | B. | {-\sqrt{2},log4 6} | C. | {\sqrt{2},log4 6} | D. | {-\sqrt{2},\sqrt{6}) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -\frac{{\sqrt{3}}}{3} | B. | -\frac{1}{2} | C. | -\sqrt{3} | D. | -\frac{{\sqrt{3}}}{2} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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