Question

已知函數(shù).

（1）若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的范圍；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，設(shè)，對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由.

Answer 1

（1）由得，因在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù).

所以在上最大值大于0，最小值小于0,

,

，.

(2)由，得,

，且等號不能同時取，，即.

恒成立，即.

令，求導(dǎo)得,

當時，，從而.

在上是增函數(shù)，.

.

(3)由條件，,

假設(shè)曲線上存在兩點滿足題意，則只能在軸兩側(cè),

不妨設(shè)，則，且,

是以為直角頂點的直角三角形，,

    

是否存在等價于方程在且是否有解.

①當時，方程為，化簡，此方程無解；

②當時，方程為，即

設(shè)，則,

顯然，當時，，即在上為增函數(shù).

的值域為，即，當時，方程總有解.

對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上.