Question

已知直線l：mx-y-m+1=0（m∈R），若存在實數m，使得直線l被曲線C所截得的線段長度為|m|，則稱曲線C為l的“優(yōu)美曲線”．下面給出的曲線：
①y=-|x-1|；
②（x-1）²+（y-1）²=1；
③x²+3y²=4．
其中是直線l的“優(yōu)美曲線”的有（　�。�

• A、①②
• B、③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：題目給出的是新定義題，給出的直線過定點（1，1），對于曲線y=-|x-1|，通過分析其圖象可知，直線l與該曲線不可能相交于兩點，不符合新定義；對于曲線②（x-1）²+（y-1）²=1，直線l過該圓的圓心，所以m=±2時滿足新定義；對于曲線x²+3y²=4，假設該曲線是直線l的“優(yōu)美曲線”，把直線和其聯立后看滿足弦長等于m的值是否存在，由弦長公式得到關于m的方程，方程是高次方程，可以不求解，看方程對應函數的零點是否存在即可，利用根的存在性定理加以判斷．

解答： 解：由直線l：mx-y-m+1=0，可知直線l過點A（1，1）．
對于①，y=-|x-1|，圖象是頂點為（1，0）的倒V型，而直線l過頂點A（1，1）．
所以直線l不會與曲線y=-|x-1|有兩個交點，不是直線l的“優(yōu)美曲線”；
對于②，（x-1）²+（y-1）²=1是以A為圓心，半徑為1的圓，
所以直線l與圓總有兩個交點，且距離為直徑2，所以存在m=±2，使得圓（x-1）²+（y-1）²=1與直線l有兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段的長度恰好等于|m|．
所以圓（x-1）²+（y-1）²=1是直線l的“優(yōu)美曲線”；
對于③，將y=mx+1-m代入x²+3y²=4，
得（3m²+1）x²+6m（1-m）x+3（1-m）²-4=0．
所以x₁+x₂=-

6m(1-m)

3m2+1

，x₁x₂=

3(1-m)2-4

3m2+1

．
若直線l被橢圓截得的線段長度是|m|，
則m2=(x1-x2)2+(y1-y1)2．
化簡得

m2

m2+1

=(

6m+2

3m2+1

)2．
令f（a）=

m2

m2+1

-(

6m+2

3m2+1

)2．
f（1）=-

7

2

＜0，f（3）=

191

490

＞0．
所以函數f（a）在（1，3）上存在零點，即方程

m2

m2+1

=(

6m+2

3m2+1

)2有根．
而直線過橢圓上的定點（1，1），當a∈（1，3）時滿足直線與橢圓相交．
故曲線x²+3y²=4是直線的“優(yōu)美曲線”．
故選：C．

點評：本題考查了兩點間的距離公式，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法及運算能力，特別是對③的判斷，能夠考查學生靈活處理問題的能力，是有一定難度題目．