Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）
（1）求a₂、a₃的值；
（2）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由；
（3）求通項公式a_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推關(guān)系式直接求出結(jié)果．
（2）先假設存在實數(shù)λ，進一步分析求實數(shù)λ，從而確定結(jié)論．
（3）利用上步得結(jié)論，構(gòu)造新的等差數(shù)列，求出通項，另外要對首相進行討論看是否符合通項公式．

解答： 解：（1）數(shù)列{a_n}中，a₁=5，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）
根據(jù)遞推關(guān)系式求出：
a2=2a1+22-1=13
a3=2a2+23-1=33
（2）假設存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列，
則：

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關(guān)的常數(shù)，

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=1-

1+λ

2n

則：1+λ=0
解得：λ=-1
（3）由（2）的結(jié)論：

an-1

2n

-

an-1-1

2n-1

=1（n≥2）
數(shù)列{

an-1

2n

}是以

a1-1

21

為首項，公差為1的等差數(shù)列．

an-1

2n

=

a1-1

21

+(n-1)×1
解得：an=(n+1)2n+1
當n=1時，a₁=5
數(shù)列{a_n}的通項公式為：an=(n+1)2n+1

點評：本題考查的知識要點：根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列的各項，存在性問題的確定求參數(shù)的值，構(gòu)造等差數(shù)列求通項公式．