Question

如圖所示，已知橢圓C₁：

x2

10

+

2y2

5

=1，C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）有相同的離心率，F（-

3

，0）為橢圓C₁的左焦點，過點F的直線l與C₁、C₂依次交于A、C、D、B四點．
（1）求橢圓C₂的方程；
（2）求證：無論直線l的傾斜角如何變化恒有|AC|=|DB|；
（3）若|AC|=1，求直線l的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求得橢圓C₁的離心率，再由離心率公式和a，b，c的關系，即可得到橢圓橢圓C₂的方程；
（2）當直線l垂直于x軸時，可得A，B，C，D的坐標，計算即可得到|AC|=|BD|；當l不垂直于x軸時，設直線l：y=k（x+

3

），聯立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理，再由中點坐標即可得到|AC|=|BD|；
（3）若|AC|=1，由（2）得，|AB|=|CD|+2，當直線l垂直于x軸時，不滿足題意；當l不垂直于x軸時，設直線l：y=k（x+

3

），由（2）運用弦長公式，化簡整理，得到8k⁴-2k²-1=0，解方程即可得到．

解答： （1）解：橢圓C₁：

x2

10

+

2y2

5

=1的離心率為

10- 5 2 10

=

3

2

，
對于C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的c=

3

，由條件得，

c

a

=

3

2

，則a=2，b=1，
則橢圓C₂的方程為：

x2

4

+y²=1；
（2）證明：當直線l垂直于x軸時，可得A（-

3

，-

7

2

），B（-

3

，

7

2

），C（-

3

，-

1

2

），D（-

3

，

1

2

）
即有|AC|=|BD|；
當l不垂直于x軸時，設直線l：y=k（x+

3

），
由

y=k(x+ 3 ) x2 10 + 2y2 5 =1

消去y，得（1+4k²）x²+8

3

k²x+12k²-10=0，
由

y=k(x+ 3 ) x2 4 +y2=1

消去y，得（1+4k²）x²+8

3

k²x+12k²-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則x₁+x₂=x₃+x₄=-

8 3 k2

1+4k2

，即有AB，CD的中點重合，則有|AC|=|BD|．
故無論直線l的傾斜角如何變化恒有|AC|=|DB|；
（3）解：若|AC|=1，
由（2）得，|AB|=|CD|+2，
當直線l垂直于x軸時，不滿足題意；
當l不垂直于x軸時，設直線l：y=k（x+

3

），
由（2）得，x₁+x₂=x₃+x₄=-

8 3 k2

1+4k2

，x₁x₂=

12k2-10

1+4k2

，x₃x₄=

12k2-4

1+4k2

，
則|CD|=

(1+k2)((x3+x4)2-4x3x4

=

(1+k2)(( -8 3 k2 1+4k2 )2- 48k2-16 1+4k2 )

=

4(1+k2)

1+4k2

，
同理，|AB|=

(1+k2)((x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)(( -8 3 k2 1+4k2 )2- 48k2-40 1+4k2 )

=

8(1+k2)(14k2+5)

1+4k2

，
則有

4(1+k2)

1+4k2

+2=

8(1+k2)(14k2+5)

1+4k2

，

化簡可得，8k⁴-2k²-1=0，解得k²=

1

2

，
則有k=±

2

2

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理和弦長公式，考查直線方程的設法，以及化簡整理的運算能力和推理能力，具有一定的運算量，屬于難題．