Question

已知函數(shù)f（x）=

x-a

ax

（a＞0）
（1）判斷并證明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若存在x₀，使f（x₀）=x₀，則稱x₀為函數(shù)f（x）的不動點，現(xiàn)已知該函數(shù)在（0，+∞）上有兩個不等的不動點，求a的取值范圍；
（3）若y═

1

x+1

f（x）的值域為{y|y≥9或y≤1}，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，運用單調(diào)性的定義，注意作差、變形、定符號和下結(jié)論等步驟；
（2）令f（x）=x，即有

1

a

=x+

1

x

，求出右邊的最小值，即可得到范圍；
（3）將函數(shù)整理成二次方程的形式，運用判別式不小于0，再由值域可得，1，9是a²y²-（2a+4a²）y+1=0的兩根，運用韋達(dá)定理，即可得到a．

解答： 解：（1）f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
理由如下：設(shè)0＜m＜n，則f（m）-f（n）=

m-a

am

-

n-a

na

=

m-n

mn

，由于0＜m＜n，則m-n＜0，mn＞0，則f（m）-f（n）＜0，
即有f（m）＜f（n）．則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）令f（x）=x，即有

1

a

=x+

1

x

，
由于x＞0時，x+

1

x

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1取最小值2，
則

1

a

＞2，解得0＜a＜

1

2

；
（3）由于y=

1

x+1

•

x-a

ax

，即為ayx²+（ay-1）x+a=0，
由判別式大于等于0，得，（ay-1）²-4a²y≥0，
即有a²y²-（2a+4a²）y+1≥0，
由函數(shù)的值域，可知1，9是a²y²-（2a+4a²）y+1=0的兩根，
則有1+9=

2a+4a2

a2

，且1×9=

1

a2

，
解得，a=

1

3

．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，函數(shù)的零點的運用，考查運用判別式法求函數(shù)的值域，屬于中檔題．