Question

已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且滿足，．

   （1）若，．

 ①當時，求數(shù)列和的通項公式；

 ②若數(shù)列是唯一的，求的值；

   （2）若，，均為正整數(shù)，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的公差的最大值．

Answer 1

（1）①由數(shù)列是等差數(shù)列及，得，

    由數(shù)列是等比數(shù)列及，得．                  

    設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，

若，則有，解得 或 ．    

    所以，和的通項公式為或      

    ② 由題設，得，即（*）．

因為數(shù)列是唯一的，所以

若，則，檢驗知，當時，或（舍去），滿足題意；

若，則，解得，代入（*）式，解得，

又，所以是唯一的等比數(shù)列，符合題意．  

所以，或．                                        

   （2）依題意，，                

設公比為，則有， （**）  

記，，則．

將（**）中的消去，整理得， 

的大根為

    而，所以 的可能取值為：

    ．

    所以，當時，的最大值為．