已知雙曲線的中心在原點,焦點在x軸上,其漸近線與圓x2+y2-10x+20=0相切.過點P(-4,0)作斜率為的直線l,交雙曲線左支于A、B兩點,交y軸于點C,且滿足|PA|·|PB|=|PC|2.
(1)求雙曲線的標準方程;
(2)設點M為雙曲線上一動點,點N為圓x2+(y-2)2=上一動點,求|MN|的取值范圍.
(1)設雙曲線的漸近線方程為y=kx,
因為漸近線與圓(x-5)2+y2=5相切,
則=
,即k=±
,
所以雙曲線的漸近線方程為y=±x.
設雙曲線方程為x2-4y2=m,將y=(x+4)代入雙曲線方程中整理得,3x2+56x+112+4m=0.
所以xA+xB=-,xAxB=
.
因為|PA|·|PB|=|PC|2,點P、A、B、C共線,且點P在線段AB上,則(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xC)2,即(xB+4)(-4-xA)=16.
所以4(xA+xB)+xAxB+32=0.
于是4·(-)+
+32=0,解得m=4.
故雙曲線方程是x2-4y2=4,即-y2=1.
(2)設點M(x,y),圓x2+(y-2)2=的圓心為D,則x2-4y2=4,點D(0,2).
所以|MD|2=x2+(y-2)2=4y2+4+(y-2)2
=5y2-4y+8=5(y-)2+
≥
.
所以|MD|≥,
從而|MN|≥|MD|-≥
.
故|MN|的取值范圍是[,+∞).
科目:高中數學 來源: 題型:
在直角坐標系xOy中,以坐標原點O為圓心的圓與直線x-y=4相切.
(1)求圓O的方程;
(2)若圓O上有兩點M、N關于直線x+2y=0對稱,且|MN|=2,求直線MN的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
如圖所示,在△DEM中,=(0,-8),N在y軸上,且
點E在x軸上移動.
(1)求點M的軌跡方程;
(2)過點F(0,1)作互相垂直的兩條直線l1、l2,l1與點M的軌跡交于點A、B,l2與點M的軌跡交于點C、Q,求的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
若原點O和點F(-2,0)分別為雙曲線-y2=1(a>0)的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則
的取值范圍為( )
A.[3-2,+∞) B.[3+2
,+∞)
C.[-,+∞) D.[
,+∞)
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科目:高中數學 來源: 題型:
已知雙曲線E的中心為原點,F(3,0)是E的焦點,過F的直線l與E相交于A、B兩點,且AB的中點為N(-12,-15),則E的方程為( )
A.-
=1 B.
-
=1
C.-
=1 D.
-
=1
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科目:高中數學 來源: 題型:
設M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點,F為拋物線C的焦點,以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交,則y0的取值范圍是( )
A.(0,2) B.[0,2]
C.(2,+∞) D.[2,+∞)
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科目:高中數學 來源: 題型:
設拋物線x2=12y的焦點為F,經過點P(2,1)的直線l與拋物線相交于A,B兩點,又知點P恰為AB的中點,則|AF|+|BF|=________.
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