Question

已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，其漸近線與圓x²＋y²－10x＋20＝0相切．過點P(－4,0)作斜率為的直線l，交雙曲線左支于A、B兩點，交y軸于點C，且滿足|PA|·|PB|＝|PC|².

(1)求雙曲線的標準方程；

(2)設點M為雙曲線上一動點，點N為圓x²＋(y－2)²＝上一動點，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

　(1)設雙曲線的漸近線方程為y＝kx，

因為漸近線與圓(x－5)²＋y²＝5相切，

則＝，即k＝±，

所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.

設雙曲線方程為x²－4y²＝m，將y＝(x＋4)代入雙曲線方程中整理得，3x²＋56x＋112＋4m＝0.

所以x_A＋x_B＝－，x_Ax_B＝.

因為|PA|·|PB|＝|PC|²，點P、A、B、C共線，且點P在線段AB上，則(x_P－x_A)(x_B－x_P)＝(x_P－x_C)²，即(x_B＋4)(－4－x_A)＝16.

所以4(x_A＋x_B)＋x_Ax_B＋32＝0.

于是4·(－)＋＋32＝0，解得m＝4.

故雙曲線方程是x²－4y²＝4，即－y²＝1.

(2)設點M(x，y)，圓x²＋(y－2)²＝的圓心為D，則x²－4y²＝4，點D(0,2)．

所以|MD|²＝x²＋(y－2)²＝4y²＋4＋(y－2)²

＝5y²－4y＋8＝5(y－)²＋≥.

所以|MD|≥，

從而|MN|≥|MD|－≥.

故|MN|的取值范圍是[，＋∞)．