Question

已知四棱錐P－ABCD的正視圖是一個底邊長為4、腰長為3的等腰三角形，如圖分別是四棱錐P－ABCD的側視圖和俯視圖．

(1)求證：AD⊥PC；

(2)求四棱錐P－ABCD的側面PAB的面積．

Answer 1

(1)由俯視圖可知點P在平面ABCD上的射影是線段CD的中點E，如圖，連接PE，則PE⊥平面ABCD.

∵AD⊂平面ABCD，

∴AD⊥PE.

∵AD⊥CD，CD∩PE＝E，

CD⊂平面PCD，PE⊂平面PCD，

∴AD⊥平面PCD.

∵PC⊂平面PCD，

∴AD⊥PC.

(2)依題意，在等腰三角形PCD中，PC＝PD＝3，DE＝EC＝2，

在Rt△PED中，PE＝＝.

過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接PF，

∵PE⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

∴AB⊥PE.

∵EF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，EF∩PE＝E，

∴AB⊥平面PEF.

∵PF⊂平面PEF，

∴AB⊥PF.

依題意得EF＝AD＝2.

在Rt△PEF中，PF＝＝3，

∴△PAB的面積S＝·AB·PF＝6.

∴四棱錐P－ABCD的側面PAB的面積為6.