Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx為偶函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n-1）+1，且a₁=3，a_n＞1．
（Ⅰ）設(shè)b_n=log₂（a_n-1），證明：數(shù)列{b_n+1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)c_n=n（2b_n-1），求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用函數(shù)f（x）=x²+bx為偶函數(shù)，可得b，根據(jù)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2f（a_n-1）+1，可得b_n+1+1=2（b_n+1），即可證明數(shù)列{b_n+1}為等比數(shù)列；
（2）由c_n=n（2b_n-1）=2n•2ⁿ-3n，利用錯位相減可求數(shù)列的和．

解答： （Ⅰ）證明：∵函數(shù)f（x）=x²+bx為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），∴b=0
∵a_n+1=2f（a_n-1）+1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1）²，
∵b_n=log₂（a_n-1），
∴b_n+1=1+2b_n，
∴b_n+1+1=2（b_n+1）
∴數(shù)列{b_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，b_n+1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ-1，
∴c_n=n（2b_n-1）=2n•2ⁿ-3n，
∴S_n=2×（1•2+2•2²+…+n•2ⁿ）-

3n(n+1)

2

，
∴令T=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4-

3n(n+1)

2

．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項公式，錯位相減求數(shù)列的和的應(yīng)用是求解的關(guān)鍵．