Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）．
（1）求證：{

1

an

+

1

2

}是等比數列，并求{a_n}的通項公式a_n；
（2）數列{b_n}滿足b_n=

2

an

，求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）．兩邊取倒數可得：

1

an+1

=1+

3

an

，變形為

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，即可證明；
（2）數列{b_n}滿足b_n=

2

an

=3ⁿ-1，利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： （1）證明：∵a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）．
兩邊取倒數可得：

1

an+1

=1+

3

an

，
∴

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)，
又

1

a1

+

1

2

=

3

2

，
∴：{

1

an

+

1

2

}是等比數列，
∴

1

an

+

1

2

=

3

2

×3n-1，
∴a_n=

2

3n-1

．
（2）解：∵數列{b_n}滿足b_n=

2

an

=3ⁿ-1，
∴數列{b_n}的前n項和為T_n=3+3²+…+3ⁿ-n
=

3(3n-1)

2

-n
=

3n+1-3

2

-n．

點評：本題考查了遞推式的應用、等比數列的通項公式及其前n項和公式、“取倒數”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．