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20.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,Sn為其前n項(xiàng)和,且2S3=5S1+3S2
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log2an,cn=1nn+1,記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn,求Tnn+4的最大值.

分析 (1)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知:2(a1+a1•q+a1•q2)=5a1+2((a1+a1•q),即可求得q=2,求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)由(1)可知:bn=log2an=n,cn=\frac{1}{_{n}_{n+1}}=1nn+1=1n-1n+1,采用“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn,由Tnn+4=nn+1n+4=nn2+5n+4=1n+4n+5,由基本不等式的性質(zhì)即可求得Tnn+4的最大值.

解答 解:(1)∵2S3=5S1+3S2,
∴2(a1+a1•q+a1•q2)=5a1+2((a1+a1•q),…(1分)
整理得:2q2-q-6=0 …(2分)
解得:q=2或q=-32  …(3分)
∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),
∴q=-32不合題意…(4分)
∴{an}的通項(xiàng)公式為:an=2n;…(5分)
(2)由(1)可知:bn=log2an=n,…(6分)
∴cn=1nn+1=1nn+1=1n-1n+1,…(7分)
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=c1+c2+…+cn
=(1-12)+(12-13)+…+(-1n+1),
=1-1n+1
=nn+1  …(8分)
Tnn+4=nn+1n+4=nn2+5n+4=1n+4n+5,…(9分)
∵n+4n+5≥2n4n+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)n=4n,即n=2時(shí)等號(hào)成立…(10分)
1n+4n+519 …(11分)
 Tnn+4的最大值是19.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì),考查“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和,基本不等式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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