Question

已知函數(shù)f(x)＝ax－bxln x，其圖象經(jīng)過點(1,1)，且在點(e，f(e))處的切線斜率為3.(e為自然對數(shù)的底數(shù))．

(1)求實數(shù)a、b的值；

(2)若k∈Z，且k<對任意x>1恒成立，求k的最大值；

(3)證明：2ln 2＋3ln 3＋…＋nln n>(n－1)2(n∈N*，n>1)．

Answer 1

【解】　(1)因為f(1)＝1，所以a＝1，

此時f(x)＝x－bxln x，f′(x)＝1－b(1＋ln x)，

依題意，f′(e)＝1－b(1＋ln e)＝3，所以b＝－1.

(2)由(1)知：f(x)＝x＋xln x，

當x>1時，

設(shè)h(x)＝x－2－ln x，則h′(x)＝1－>0，h(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．

因為h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－ln 4>0，

所以，存在x0∈(3,4)，使h(x0)＝0.

當x∈(1，x0)時，h(x)<0，g′(x)<0，即g(x)在(1，x0)上為減函數(shù)；

同理g(x)在(x0，＋∞)上為增函數(shù)，從而g(x)的最小值為g(x0)＝，

所以x0∈(3,4)，k的最大值為3.

(3)證明　由(2)知，當x>1時，>3，

所以f(x)>3x－3，即x＋xln x>3x－3，xln x>2x－3，

所以2ln 2＋3ln 3＋…＋nln n>(2×2－3)＋(2×3－3)＋…＋(2n－3)＝2(2＋3＋…＋n)－3(n－1)＝2×－3n＋3＝n2－2n＋1＝(n－1)2(n∈N*，n>1)．