設(shè)矩陣A=

1 a 0 1

（a≠0）．
（1）求A²，A³，并猜想Aⁿ（n∈N^*）；
（2）利用（1）所猜想的結(jié)論，求證：Aⁿ的特征值是與n無關(guān)的常數(shù)，并求出此常數(shù)．

四棱錐S-ABCD的底面是菱形，SD⊥平面ABCD，點(diǎn)E是SD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：SB∥平面EAC；
（Ⅱ）求證：平面SAC⊥平面SBD．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，線性變換σ將點(diǎn)（1，0）變換為（1，0），將點(diǎn)（0，1）變換為（1，2）．
（Ⅰ）試寫出線性變換σ對(duì)應(yīng)的二階矩陣A；
（Ⅱ）求矩陣A的特征值及屬于相應(yīng)特征值的一個(gè)特征向量．

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₃=a₄+4，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和公式．

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2t-3（t∈R且t≠±1），a_n+1=

2(tn+1-1)(an+1)

an+2tn-1

（n∈N^*）
（Ⅰ）證明數(shù)列{

tn-1

an+1

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=n²（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）若t＞0，證明數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增數(shù)列．

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d不為零，S_n為其前n項(xiàng)和，S₆=5S₃
（Ⅰ）求證：a₂，a₃，a₅成等比數(shù)列；
（Ⅱ）若a₂=2，且a₂，a₃，a₅為等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，求數(shù)列|

Sn+1

bn

|的最大項(xiàng)的值．

對(duì)于函數(shù)f（x），x∈D，若存在x₁、x₂∈D，對(duì)任意的x∈D，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），則稱f（x）為“幅度函數(shù)”，其中f（x₂）-f（x₁）稱為f（x）在D上的“幅度”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=

3-2x-x2

是否為“幅度函數(shù)”，如果是，寫出其“幅度”；
（2）已知x（y-1）-2^n-1y+2ⁿ=0（x∈Z，n為正整數(shù)），記y關(guān)于x的函數(shù)的“幅度”為b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）在（2）的條件下，令g（n）=lg

2

bn+1

+lg

2

bn+2

+…+lg

2

b2n

，求g（n）的表達(dá)式．

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=60°，AD=2，AC=2

3

，E是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PC⊥BD；
（Ⅱ）若四棱錐P-ABCD的體積為4，求DE與平面PAC所成的角的大�。�

已知函數(shù)f（x）=x³+ax+b，a，b∈R的圖象記為曲線E，過一點(diǎn)A（

1

2

，-

3

8

）作曲線E的切線，這樣的切線有且僅有兩條．
（Ⅰ）求a+2b的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)A在曲線E上，對(duì)任意的x∈[0，1]，求證：f（x）+|a+3b+1|+

1

2

≥0．

為了保護(hù)生態(tài)和環(huán)境，某市不再完全以GDP考核轄區(qū)內(nèi)各縣政府的政績(jī)，廣大群眾的幸福指數(shù)成為考核縣政府政績(jī)的又一個(gè)重要指標(biāo)，從而成立了市政府幸福辦公室，其主要工作是隨機(jī)抽查群眾的幸福指數(shù)，為市政府提供最基礎(chǔ)的原始數(shù)據(jù)．該辦公室某工作人員在一次隨機(jī)抽查了10名A縣群眾后，繪制了如圖的莖葉圖．
（1）求這10名群眾幸福指數(shù)的中位數(shù)及平均數(shù)；（莖表示十位數(shù)字，葉表示個(gè)位數(shù)字）
（2）市領(lǐng)導(dǎo)在該10名群眾幸福指數(shù)中隨機(jī)選取了3個(gè)指數(shù)，若至少有2個(gè)指數(shù)在80或80以上的概率不小于

1

2

，則A縣政府受到表揚(yáng)，問A縣政府是否受到表揚(yáng)？
（3）若某人幸福指數(shù)在[60，70）內(nèi)，則稱該人為“勉強(qiáng)幸福人”，在該10名群眾中隨機(jī)抽一名，其為“勉強(qiáng)幸福人”人的概率作為A縣每位群眾為“勉強(qiáng)幸福人”人的概率；現(xiàn)隨機(jī)抽取3名A縣群眾（群眾人數(shù)很多），記其中“勉強(qiáng)幸福人”人的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望．