【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為棱的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)若平面平面，，求二面角的余弦值.

【題目】設(shè)為實(shí)數(shù)，已知，

（1）若函數(shù)，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）若對(duì)于一切，不等式恒成立，求的取值范圍.

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．證明：直線平面.

【題目】如圖，矩形和等邊三角形中， ，平面平面．

（1）在上找一點(diǎn)，使，并說(shuō)明理由；

（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角余弦值．

【題目】如圖，水平的廣場(chǎng)上有一盞路燈掛在高的電線桿頂上，記電線桿的底部為點(diǎn).把路燈看作一個(gè)點(diǎn)光源，身高的女孩站在離點(diǎn)的點(diǎn)處，回答下面的問(wèn)題.

（1）若女孩以為半徑繞著電線桿走一個(gè)圓圈，人影掃過(guò)的是什么圖形，求這個(gè)圖形的面積；

（2）若女孩向點(diǎn)前行到達(dá)點(diǎn)，然后從點(diǎn)出發(fā)沿著以為對(duì)角線的正方形走一圈，畫(huà)出女孩走一圈時(shí)頭頂影子的軌跡，說(shuō)明軌跡的形狀.

【題目】為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開(kāi)的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)．

(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)．

【題目】有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)依次是P(萬(wàn)元)和Q(萬(wàn)元)，它們與投入資金x(萬(wàn)元)的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式：P＝，Q＝ .今有3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少？能獲得的最大利潤(rùn)是多少？

【題目】圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為、，母線長(zhǎng)，從圓臺(tái)母線的中點(diǎn)拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)（在下底面），求：

（1）繩子的最短長(zhǎng)度；

（2）在繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離．

【題目】已知是奇函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）求函數(shù)在上的值域；

（3）令，求不等式的解集.