1．已知集合A = {(x，y)|y =x²，x∈R}，B = {(x，y)|y =x，x∈R }，則A∩B中的元素個數(shù)為（   ）

A．0個                       B．1個                       C．2個                       D．無窮多個

2．已知{}是公比為q的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則q = (   )

    A.               B.               C.2                 D.1

3．點(diǎn)（tan2009°，cos2009°）位于（    ）

A．第一象限               B．第二象限                C．第三象限               D．第四象限

4．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n =(n∈N^*)，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則使S_n＜?5成立的自然數(shù)n（   ）

A．有最大值63          B．有最小值63           C．有最大值31          D．有最小值31

5．若對于任意的實(shí)數(shù)x，有x³ = a₀ + a₁(x ? 2) + a₂ (x ? 2)² + a₃ (x ? 2)³，則a₂的值為（   ）

A．3                           B．6                            C．9                           D．12

6．球面上有三點(diǎn)A、B、C，任意兩點(diǎn)之間的球面距離等于球大圓周長的四分之一，且過這三點(diǎn)的截面圓的面積為4,則此球的體積為（   ）

A．                  B．                C．                D．

7．已知F₁、F₂為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，拋物線C以F₁為頂點(diǎn)，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，設(shè)P為橢圓與拋物線的一個交點(diǎn)，如果橢圓的離心率為e，且|PF₁| = e|PF₂|，則e的值為（   ）

A．                       B．                    C．                       D．

8．設(shè)函數(shù)f(x) =，[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則函數(shù)[f(x) +] +[f(?x) +]的值域是（     ）

A．{3}                        B．{3，4}                    C．{2，3}                   D．{4}

9．已知a為實(shí)數(shù)數(shù)，則的值為       ．

10．已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB =2，AC =3，則sinC的值是_____．

11．若不等式對于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________

12．將三種農(nóng)作物種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田里，每一塊種植一種農(nóng)作物，同一種農(nóng)作物種在相鄰的試驗(yàn)田中，不同的種植方法有     ．

13．把正奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7…中的數(shù)按上小下大，左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表

請判斷2009是該三角形數(shù)表中第     行的第     個數(shù)．

14．給出平面陰影區(qū)域（包括邊界）如圖所示

（Ⅰ）要使目標(biāo)函數(shù)z = ax + y取得最大值的最優(yōu)解

有無窮多個，則a的取值為_____．

（Ⅱ）要使目標(biāo)函數(shù)z = ax + y取得最大值的最優(yōu)解

有且僅有一個點(diǎn)A(3，2)，則a的取值范圍 ______．

15．一種計(jì)算裝置，有一個數(shù)據(jù)入口A和一個運(yùn)算出口B，執(zhí)行某種運(yùn)算程序。當(dāng)從A口輸入自然數(shù)1時，從B口得到實(shí)數(shù)，記為；當(dāng)從A口輸入自然數(shù)時，在B口得到的結(jié)果是前一結(jié)果的倍。則（i）當(dāng)從A口輸入3時，從B口得到_______;(ii)要想從B口得到，則應(yīng)從A口輸入自然數(shù)       ．

16．（12分）已知向量，，f(x) =．

（Ⅰ）求函數(shù)y = f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）已知g (x) = 2sin2x + 1，將函數(shù)y = g (x)的圖象按向量平移后得到函數(shù)y = f(x)的圖象，求||的最小值．

17．（12分）某單位小會議室里的3只白熾燈泡已壞，電工李師傅前往會議室更換。若所帶燈泡包裝盒中共有6只燈泡（外觀形狀完全一樣），其中4只好的，2只壞的。李師傅每次隨機(jī)從包裝盒中任取一只（每只被取的概率相同），若取出的燈泡是好的，則將其更換小會議室已壞的燈泡，若取出的燈泡是壞的，則不再放回包裝盒，也不能用它更換小會議室已壞的燈泡．

（Ⅰ）求李師傅第二次所取的燈泡是好的的概率；

（Ⅱ）設(shè)李師傅全部更換了小會議室的3只已壞燈泡時，從包裝盒中所取燈泡次數(shù)為，求的分布列和期望．

18．（12分）在如圖所示的多面體中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，DA和EC均垂直于平面ABC，且DA = 2，EC = 1．

（Ⅰ）求點(diǎn)A到平面BDE的距離；

（Ⅱ）求二面角B?ED?A的正切值．

19．（13分）長沙市年嘉湖隧道的開通，既緩解了車站北路與營盤東路之間的交通壓力，也縮短了交通時間，但為了交通安全，市交通部門對隧道內(nèi)行駛的車輛作如下規(guī)定：①最高時速不超過60公里/小時；②行使車輛之間的車距d是車速v（公里/小時）的平方與車身長s（米）的積成正比，比例系數(shù)為k(k>0);③按②的要求行駛，若車距小于車身長的一半時,則規(guī)定車距為。

現(xiàn)假定車輛的車身長約為s米，當(dāng)車速為50km/小時時，車距恰好為該車的車身長。

（Ⅰ）試寫出d關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式（其中s為常數(shù)）；

（Ⅱ）問應(yīng)按怎樣的車速，才能使車流量Q =最大．

20．（13分）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率為，點(diǎn)Q在橢圓C上且滿足條件：= 2，? 2．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)A、B為橢圓上不同的兩點(diǎn)，且滿足OA⊥OB，若(∈R)且，試問：是否為定值．若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由。

21．（13分）已知函數(shù)f (x) = lnx，g (x) =(a＞0)，設(shè)F(x) = f (x) + g (x)．

（1）求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，當(dāng)時，點(diǎn)P處的切線的斜率k≤恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y = g() + m ? 1的圖象與函數(shù)y = f (1 + x²)的圖象恰有四個不同的交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

答案

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

D

B

B

D

`A

B

9.-i     10.    11.     12.  36     13.  45  15  

14.      15.

16．（12分）【解析】

（Ⅰ）f(x) ==……4分

解不等式(k∈Z)得x∈(k∈Z)

解不等式(k∈Z)得x∈(k∈Z)……6分

所以函數(shù)y = f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(k∈Z)，

單調(diào)減區(qū)間是(k∈Z)．……7分）

（Ⅱ）函數(shù)y = g(x)按向量= (h，k)平移后，

得到函數(shù)y = 2sin2(x ? h) + 1 + k = 2sin(2x +)……9分

∴  ……11分

當(dāng)n = 0時，．  ……12分

17．（12分）【解析】（Ⅰ）李師傅第一次所取燈泡是好的，第二次所取燈泡也是好的的概率P₁ =；李師傅第一次所取燈泡是壞的，第二次所取的燈泡是好的的概率P₂=；所以李師傅第二次所取的燈泡是好的的概率為P₁ + P₂ =．  ……4分

（Ⅱ）= 3，4，5．                                             ……5分P，P，P．（只考察壞燈泡的組合情況）9分

3

4

5

P

所以的分布列為

……10分

期望E=．……12分

18．（12分）【解析】（Ⅰ）∵DE = BE =，BD =，

∴S_△BDE =，設(shè)點(diǎn)A到平面BDE的距離為h．

又∵S_△ABC =，V_D?ABC = V_A?BDE

∴    ∴h =

即點(diǎn)A到平面BDE的距離為． ……6分

（Ⅱ）∵DA⊥平面ABC，∴平面DACE⊥平面ABC

取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)BM，則BM⊥AC，BM⊥平面DACE．

過M作MN⊥DE，交DE于N，連結(jié)BN，則BN⊥DE，

∴∠BNM是所求二面角的平面角．

設(shè)AC、DE的延長線相交于點(diǎn)P，∵DA = 2EC，∴CP = 2

由△MNP∽△DAP得，MP = 3，DA = 2

DP =，∴MN =

又∵BM =，∴tan∠BNM =．  ……12分

應(yīng)用空間向量求解參照計(jì)分

19．（13分）【解析】（Ⅰ）依題意可得d = kv²s．

當(dāng)v = 50時，d = s，解得k =，∴d =v²s．  ……3分

當(dāng)d =時，解得v = 25．                      ……4分

所以d關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式是：d =…… 6分

（Ⅱ）

當(dāng)0＜v≤25，取v =25時，Q的最大值為；   ……8分

當(dāng)25＜v≤60時，Q =．

當(dāng)且僅當(dāng)v = 50時取等號．                      ……11分

又∵                           ……12分

∴按50km/小時的速度行駛，車流量大．           ……13分

20．（13分）【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，∵e =，∴a = 2c

∴，．

又?2      ∴cos∠F₁QF₂ =．

由|F₁F₂|² = |QF₁|² + |QF₂|² ? 2|QF|?|QF₂|cos∠F₁QF₂得a = 2，c = 1，b² = 3

∴橢圓C的方程為．          ……5分

（Ⅱ）依題意可知，點(diǎn)M為由點(diǎn)O向直線AB所作的垂線的垂足．

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

（1）當(dāng)x₁ = x₂時，直線OA、OB的斜率分別為±1，解方程組得x =±．

∴．                       ……6分

（2）當(dāng)x₁≠x₂時，設(shè)AB的直線方程為：y = kx + m，代入得

(3 + 4k²)x² + 8mkx + 4m² ? 12 = 0

x₁ + x₂ =，x₁?x₂ =          ……8分

∵，∴=

∴7m² = 12 (k² + 1)     ∴      ……11分

又∵．

綜上所述．                 ……13分

21．（13分）【解析】（1）F(x) = f (x) + g (x) = lnx +(x＞0)，F(xiàn)′(x) =．

∵a＞0，由F′(x)＞0x∈(a，+∞)，∴F(x)在[a，+∞)上單調(diào)遞增．

由F′(x)＜.0x∈(0，a)，∴F(x)在(0，a]上單調(diào)遞減．

∴F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a]，單調(diào)遞增區(qū)間為[a，+∞)．   ……3分

（2）F′(x) =，k = F′(x₀) =≤(0＜x₀≤3)

恒成立，

當(dāng)x₀ = 1時，取得最大值．

∴a≥，∴a_min =．                                   ……6分

（3）若y = g+ m ? 1 =x² + m ?的圖象與y = f (1 + x²) = ln(x² +1)的圖象恰有四個不同的交點(diǎn)，即有四個不同的根，亦即m = ln(x² + 1) ?x² +有四個不同的根．

令G(x) = ln(x² + 1) ?，則G′(x) =? x =

當(dāng)x變化時，G′(x)、G (x)的變化情況如下表：

x

(?∞，?1)

(?1，0)

(0，1)

(1，+∞)

G′(x)的符號

+

?

+

?

G (x)的單調(diào)性

增

減

增

減

……10分

由表格知：G (x)_極小值 = G (0) =，G (x)_極大值 = G (1) = G (?1) = ln2＞0，       ……11分

畫出草圖和驗(yàn)證G(2) = G(?2) = ln5 ? 2 +＜可知，當(dāng)m∈(，ln2)時，y = G (x)與y = m恰有四個不同的交點(diǎn)．

∴當(dāng)m∈(，ln2)時，y =+ m ? 1的圖象與y = f (1 + x²)的圖象恰有四個不同的交點(diǎn)．                                                                  ……13分