2、影響水的電離平衡的因素
⑴溫度 ⑵酸、堿
⑶易水解的鹽
[思考]分析下列條件的改變對(duì)水的電離平衡的影響:
項(xiàng)目 條件 |
平衡移 動(dòng)方向 |
C(H+) 變化 |
C(OH-) 變化 |
C(H+)與C(OH-) 大小比較 |
Kw |
溶液 酸堿性 |
升溫 |
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加入少量H2SO4 |
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加入少量NaOH |
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加入少量Na2CO3 |
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加入少量FeCl3 |
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[例1]純水在25℃和80℃時(shí)的H+濃度,前后兩個(gè)量的大小關(guān)系為( )
A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 不能確定
1、水是一種 電解質(zhì),其電離方程式為 ,
水的離子積Kw=
Kw只隨溫度變化而不隨濃度變化,水的電離是 熱過(guò)程,25℃時(shí),Kw=
15.(2008·寧夏、海南)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+(a,b∈Z),曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形,并求其對(duì)稱中心;
(3)證明:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值,并求出此定值.
(1)解:f′(x)=a-,
于是
解得或
因a,b∈Z,故f(x)=x+.
(2)證明:已知函數(shù)y1=x,y2=都是奇函數(shù).
所以函數(shù)g(x)=x+也是奇函數(shù),其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形.
而f(x)=x-1++1.
可知,函數(shù)g(x)的圖象按向量a=(1,1)平移,即得到函數(shù)f(x)的圖象,故函數(shù)f(x)的圖象是以點(diǎn)(1,1)為中心的中心對(duì)稱圖形.
(3)證明:在曲線上任取一點(diǎn)
.
由f′(x0)=1-知,過(guò)此點(diǎn)的切線方程為
y-=(x-x0).
令x=1得y=,切線與直線x=1交點(diǎn)為.
令y=x得y=2x0-1,
切線與直線y=x交點(diǎn)為(2x0-1,2x0-1).
直線x=1與直線y=x的交點(diǎn)為(1,1).
從而所圍三角形的面積為
|2x0-1-1|
=·=2
所以所圍成三角形的面積為定值2.
14.(2008·山東師大附中)已知f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù),對(duì)于任意的m、n[m、n∈(0,+∞)]滿足f(m)+f(n)=f(mn),且a、b(0<a<b)滿足|f(a)|=|f(b)|=2.
(1)求f(1);
(2)若f(2)=1,解不等式f(x)<2;
(3)求證:3<b<2+.
解:(1)令m=n=1,由f(m)+f(n)=f(mn),得f(1)+f(1)=f(1).
∴f(1)=0.
(2)∵f(2)=1,
∴f(x)<2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).
又f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴0<x<4,∴f(x)<2的解集為(0,4) .
(3)∵f(1)=0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴x∈(0,1)時(shí),f(x)<0;
x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0.
又|f(a)|=|f(b)|,
∴f(a)=f(b)或f(a)=-f(b).
∵0<a<b,∴f(a)=-f(b),
∴f(a)+f(b)=f(ab)=0,
∴ab=1,∴0<a<1<b.
又∵|f(b)|=2,
且b>1,>=1,
∴f(b)=2f,
∴4b=a2+2ab+b2,
∴4b-b2-2=a2,考慮到0<a<1,
∴0<4b-b2-2<1,又b>1,
∴3<b<2+.
13.(2008·北京海淀)
今有一長(zhǎng)2米,寬1米的矩形鐵皮,如右圖,在四個(gè)角上分別截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x米的正方形后,沿虛線折起,做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水箱(接口連接問(wèn)題不考慮).
(1)求水箱容積的表達(dá)式f(x),并指出函數(shù)f(x)的定義域;
(2)若要使水箱容積不大于4x3立方米的同時(shí),又使得底面積最大,求x的值.
解:(1)由已知該長(zhǎng)方體水箱高為x米,底面矩形長(zhǎng)為(2-2x)米,寬(1-2x)米.
∴該水箱容積為f(x)=(2-2x)(1-2x)·x
f(x)=4x3-6x2+2x,
其中正數(shù)x滿足
∴0<x<.
∴所求函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/p>
.
(2)由f(x)≤4x3,得x≤0或x≥.
∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?
∴≤x<.
此時(shí)底面積為S(x)=(2-2x)(1-2x)
=4x2-6x+2,x∈.
由S(x)=42-,
可知S(x)在上是減函數(shù),
∴x=.
答:滿足條件的x為米.
12.(2009·重慶市一測(cè))某廠家擬在2009年舉行促銷活動(dòng).經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用t(t≥0)萬(wàn)元滿足x=4-(k為常數(shù)).如果不搞促銷活動(dòng),則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬(wàn)件.已知2009年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬(wàn)元,每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入12萬(wàn)元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分).
(1)將該廠家2009年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用t萬(wàn)元的函數(shù);
(2)該廠家2009年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí),廠家利潤(rùn)最大?
解:(1)由題意可知1=4-得k=3,故x=4-.
y=1.5··x-(6+12x)-t=3+6x-t=3+6(4-)-t=27--t(t≥0).
(2)y=27--t=27.5-(+t+)≤27.5-2=21.5.
當(dāng)且僅當(dāng)=t+,即t=2.5時(shí),y取得最大值.
故2009年的促銷費(fèi)用投入2.5萬(wàn)元時(shí),廠家利潤(rùn)最大.
11.(2008·石家莊二測(cè))已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對(duì)于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,且f(-4)=-2,當(dāng)x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時(shí),都有>0.則給出下列命題:
①f(2008)=-2;
②函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸為x=-6;
③函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為減函數(shù);
④方程f(x)=0在[-9,9]上有4個(gè)根;
其中所有正確命題的序號(hào)為________.
答案:①②③④
解析:f(x+6)=f(x)+f(3),f(3)=0,
則f(x+6)=f(x),6為函數(shù)的一個(gè)周期,又函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),且f(-4)=-2,則f(4)=-2,當(dāng)x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時(shí),都有>0,函數(shù)在區(qū)間[0,3]上為增函數(shù).對(duì)于①,f(2008)=f(4+6×334)=f(4)=-2,①正確;對(duì)于②,由奇偶性和周期性得函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸為x=-6,則②正確;對(duì)于③,由周期性知函數(shù)y=f(x)在[-6,-3]上為增函數(shù),又函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸為x=-6,則函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為減函數(shù),③正確;對(duì)于④,由于f(3)=0,根據(jù)奇偶性和周期性得f(-3)=0,f(9)=0,f(-9)=0,則方程f(x)=0在[-9,9]上有4個(gè)根,④正確;綜上所述,①②③④正確,故填①②③④.
10.(2008·重慶一模)將函數(shù)f(x)=的圖象向左平移一個(gè)單位,再向下平移一個(gè)單位后,得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(1)+2g(2)+3g(3)=________.
答案:9
解析:函數(shù)f(x)=的圖象向左平移一個(gè)單位,再向下平移一個(gè)單位后,得到函數(shù)g(x)=f(x+1)-1=-1=,則g(1)+2g(2)+3g(3)=9,故填9.
9.(2009·江西九校聯(lián)考)給出下列四個(gè)命題:①函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c為奇函數(shù)的充要條件是c=0;②函數(shù)y=2-x的反函數(shù)是y=-log2x;③若函數(shù)f(x)=lg(x2+ax-a)的值域是R,則a≤-4或a≥0;④若函數(shù)y=f(x-1)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.其中所有正確命題的序號(hào)是________.
答案:①②③
解析:依題意,因?yàn)?i>f(x)=x|x|+bx+c為奇函數(shù),所以f(-x)=-x|x|-bx+c=-f(x)=-x|x|-bx-c,所以c=0,①正確;由y=2-x解得x=-log2y,即函數(shù)y=2-x的反函數(shù)為y=-log2x,②正確;函數(shù)f(x)=lg(x2+ax-a)的值域?yàn)镽,則Δ=a2+4a≥0,解得a≤-4或a≥0,所以③正確;因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x-1)是偶函數(shù),則圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,y=f(x)的圖象由函數(shù)y=f(x-1)的圖象向左平移一個(gè)單位得到,則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,所以④錯(cuò).
8.(2009·東北三校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=,則(a≠b)的值為( )
A.a B.b
C.a、b中較小的數(shù) D.a、b中較大的數(shù)
答案:C
解析:對(duì)a-b進(jìn)行討論,當(dāng)a-b>0時(shí),f(a-b)=-1,==b;當(dāng)a-b<0時(shí),f(a-b)=1,==a,所以上式的值為a、b中較小的數(shù).選C.
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